Nilai maksimum lokal dari f(x)=2x^3-9x^2+12x-5 adalah ....

0

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum lokal dari fungsi \(f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 5\), kita perlu mencari turunan pertama fungsi tersebut, menentukan titik kritisnya, dan kemudian menguji titik-titik tersebut.

1. Cari turunan pertama \(f'(x)\):
   \(f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 9x^2 + 12x - 5) = 6x^2 - 18x + 12\).

2. Tentukan titik kritis dengan menyamakan \(f'(x) = 0\):
   \(6x^2 - 18x + 12 = 0\).
   Bagi kedua sisi dengan 6: \(x^2 - 3x + 2 = 0\).
   Faktorkan persamaan kuadrat: \((x-1)(x-2) = 0\).
   Jadi, titik kritisnya adalah \(x=1\) dan \(x=2\).

3. Uji titik kritis menggunakan turunan kedua atau uji selang:
   a. Uji Turunan Kedua:
      Cari turunan kedua \(f''(x)\): \(f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - 18x + 12) = 12x - 18\).
      - Untuk \(x=1\): \(f''(1) = 12(1) - 18 = 12 - 18 = -6\). Karena \(f''(1) < 0\), maka \(x=1\) adalah titik maksimum lokal.
      - Untuk \(x=2\): \(f''(2) = 12(2) - 18 = 24 - 18 = 6\). Karena \(f''(2) > 0\), maka \(x=2\) adalah titik minimum lokal.

   b. Hitung nilai fungsi pada \(x=1\) untuk mendapatkan nilai maksimum lokal:
      \(f(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) - 5 = 2 - 9 + 12 - 5 = 14 - 14 = 0\).

Jadi, nilai maksimum lokal dari \(f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 5\) adalah 0, yang terjadi pada \(x=1\).