Nilai maksimum untuk 4y-x dengan syarat: y<=2x, 3y>=2x,

Nilai maksimum adalah 7.

Pembahasan

Kita perlu mencari nilai maksimum dari fungsi tujuan $f(x, y) = 4y - x$ dengan batasan:
1. $y \le 2x$
2. $3y \ge 2x$ atau $y \ge \frac{2}{3}x$
3. $2y + x \le 20$ atau $y \le 10 - \frac{1}{2}x$
4. $x + y \ge 3$ atau $y \ge 3 - x$

Langkah pertama adalah menggambarkan daerah penyelesaian dari batasan-batasan tersebut. Titik-titik pojok dari daerah penyelesaian akan menjadi kandidat untuk nilai maksimum atau minimum fungsi tujuan.

Mari kita cari titik potong dari garis-garis batasan:

*   Titik potong 1 dan 2: $y=2x$ dan $y=\frac{2}{3}x$. Ini hanya terjadi di $(0,0)$.
*   Titik potong 1 dan 3: $y=2x$ dan $y=10-\frac{1}{2}x$. Maka $2x = 10 - \frac{1}{2}x \implies \frac{5}{2}x = 10 \implies x=4$. $y=2(4)=8$. Titik: (4, 8).
*   Titik potong 1 dan 4: $y=2x$ dan $y=3-x$. Maka $2x = 3-x \implies 3x = 3 \implies x=1$. $y=2(1)=2$. Titik: (1, 2).
*   Titik potong 2 dan 3: $y=\frac{2}{3}x$ dan $y=10-\frac{1}{2}x$. Maka $\frac{2}{3}x = 10 - \frac{1}{2}x \implies (\frac{2}{3} + \frac{1}{2})x = 10 \implies \frac{7}{6}x = 10 \implies x = \frac{60}{7}$. $y = \frac{2}{3}(\frac{60}{7}) = \frac{40}{7}$. Titik: $(\frac{60}{7}, \frac{40}{7})$.
*   Titik potong 2 dan 4: $y=\frac{2}{3}x$ dan $y=3-x$. Maka $\frac{2}{3}x = 3-x \implies \frac{5}{3}x = 3 \implies x = \frac{9}{5}$. $y = 3 - \frac{9}{5} = \frac{6}{5}$. Titik: $(\frac{9}{5}, \frac{6}{5})$.
*   Titik potong 3 dan 4: $y=10-\frac{1}{2}x$ dan $y=3-x$. Maka $10-\frac{1}{2}x = 3-x \implies \frac{1}{2}x = -7 \implies x=-14$. $y=3-(-14)=17$. Titik: (-14, 17). Namun, titik ini mungkin tidak memenuhi batasan lain.

Kita perlu memeriksa apakah titik-titik potong ini memenuhi semua batasan.

Titik-titik pojok yang valid adalah:
*   (1, 2) -> memenuhi semua batasan.
*   (4, 8) -> memenuhi semua batasan.
*   $(\frac{60}{7}, \frac{40}{7}) \approx (8.57, 5.71)$ -> $y 
less 2x$ (5.71 < 17.14), $y 
less 3-x$ (5.71 < 3-8.57 = -5.57) TIDAK MEMENUHI batasan 4. Ini titik potong 2 dan 3.
*   $(\frac{9}{5}, \frac{6}{5}) = (1.8, 1.2)$ -> memenuhi semua batasan.
*   Mari cek titik potong 2 dan 4 lagi: $y = 2/3 x$ dan $y = 3-x$. $2/3x = 3-x 
ightarrow 5/3x = 3 
ightarrow x=9/5$. $y = 3 - 9/5 = 6/5$. Titik $(9/5, 6/5)$. Cek batasan 1: $y 
ightarrow 6/5 = 1.2$, $2x 
ightarrow 2(9/5) = 18/5 = 3.6$. $1.2 
gtr 3.6$. TIDAK MEMENUHI batasan 1.

Mari kita periksa kembali titik potong yang valid:
1. $y=2x$ dan $y=10-0.5x 
ightarrow (4,8)$. Cek batasan lain: $y 
less 2/3x 
ightarrow 8 
less 2/3(4)=8/3$ (Salah). Sepertinya ada kesalahan dalam menggambar atau mencari titik potong.

Mari kita analisis lagi batasannya:
$y "} ">=" 2/3 x$  
$y "} ">=" 3-x$ 
$y "} "<=" 2x$ 
$y "} "<=" 10-0.5x$

Titik potong:
*   $y=2x$ dan $y=3-x 
ightarrow 2x=3-x 
ightarrow 3x=3 
ightarrow x=1, y=2$. P1(1,2).
    Cek batasan lain: $2 
gtr 2/3(1)=2/3$ (OK). $2 
less 10-0.5(1)=9.5$ (OK).
*   $y=2x$ dan $y=10-0.5x 
ightarrow 2x=10-0.5x 
ightarrow 2.5x=10 
ightarrow x=4, y=8$. P2(4,8).
    Cek batasan lain: $8 
gtr 2/3(4)=8/3$ (OK). $8 
less 3-4=-1$ (Salah). Batasan 4 tidak terpenuhi.
*   $y=2/3x$ dan $y=10-0.5x 
ightarrow 2/3x = 10-0.5x 
ightarrow (2/3+1/2)x=10 
ightarrow 7/6x=10 
ightarrow x=60/7, y=40/7$. P3(60/7, 40/7).
    Cek batasan lain: $40/7 
gtr 2(60/7)=120/7$ (Salah). Batasan 1 tidak terpenuhi.
*   $y=2/3x$ dan $y=3-x 
ightarrow 2/3x = 3-x 
ightarrow 5/3x=3 
ightarrow x=9/5, y=6/5$. P4(9/5, 6/5).
    Cek batasan lain: $6/5 
less 2(9/5)=18/5$ (OK). $6/5 
less 10-0.5(9/5)=10-9/10=91/10$ (OK).

Titik pojok yang valid adalah P1(1,2), P4(9/5, 6/5) dan titik potong antara $y=2x$ dan $y=10-0.5x$ jika memenuhi batasan $y 
gtr 2/3x$ dan $y 
gtr 3-x$. Titik (4,8) tidak valid karena tidak memenuhi $y 
gtr 3-x$. 

Titik pojok yang perlu diperiksa:
1.  (1, 2) -> $f(1,2) = 4(2) - 1 = 8 - 1 = 7$
2.  (9/5, 6/5) -> $f(9/5, 6/5) = 4(6/5) - 9/5 = 24/5 - 9/5 = 15/5 = 3$

Kita perlu menemukan titik potong antara $y=2x$ dan $2y+x=20$. Titik ini adalah (4,8). Cek apakah (4,8) memenuhi $3y 
less 2x$ dan $x+y 
less 3$. $3(8) = 24$, $2(4)=8$. $24 
less 8$ (salah). Jadi (4,8) bukan daerah layak.

Kita perlu menemukan titik potong antara $3y=2x$ dan $y=2x$. Ini hanya (0,0).

Kita perlu menemukan titik potong antara $3y=2x$ dan $2y+x=20$. Dari $3y=2x 
ightarrow x = 3y/2$. Substitusi ke $2y+x=20 
ightarrow 2y + 3y/2 = 20 
ightarrow 4y/2 + 3y/2 = 20 
ightarrow 7y/2 = 20 
ightarrow y=40/7$. $x = 3/2 * 40/7 = 60/7$. Titik (60/7, 40/7). Cek batasan lain: $y 
less 2x 
ightarrow 40/7 
less 2(60/7)=120/7$ (OK). $x+y 
less 3 
ightarrow 60/7+40/7 = 100/7 
less 3$ (Salah). Jadi (60/7, 40/7) bukan daerah layak.

Kita perlu menemukan titik potong antara $3y=2x$ dan $x+y=3$. Dari $x=3-y$. Substitusi ke $3y=2x 
ightarrow 3y = 2(3-y) 
ightarrow 3y = 6-2y 
ightarrow 5y=6 
ightarrow y=6/5$. $x = 3-6/5 = 9/5$. Titik (9/5, 6/5). Cek batasan lain: $y 
less 2x 
ightarrow 6/5 
less 2(9/5)=18/5$ (OK). $2y+x 
less 20 
ightarrow 2(6/5)+9/5 = 12/5+9/5=21/5 = 4.2 
less 20$ (OK). Jadi (9/5, 6/5) adalah titik pojok layak.

Kita perlu menemukan titik potong antara $y=2x$ dan $x+y=3$. $x+2x=3 
ightarrow 3x=3 
ightarrow x=1, y=2$. Titik (1,2). Cek batasan lain: $3y 
less 2x 
ightarrow 3(2)=6, 2(1)=2$. $6 
less 2$ (Salah). Jadi (1,2) bukan daerah layak.

Kita perlu menemukan titik potong antara $y=10-0.5x$ dan $x+y=3$. $x+(10-0.5x)=3 
ightarrow 0.5x+10=3 
ightarrow 0.5x=-7 
ightarrow x=-14$. $y=3-(-14)=17$. Titik (-14,17). Cek batasan lain: $y 
less 2x 
ightarrow 17 
less 2(-14)=-28$ (Salah). Jadi (-14,17) bukan daerah layak.

Satu-satunya titik pojok layak adalah (1,2) dan (9/5, 6/5).

Nilai fungsi tujuan di titik pojok:
*   Di (1, 2): $4y - x = 4(2) - 1 = 8 - 1 = 7$
*   Di (9/5, 6/5): $4y - x = 4(6/5) - 9/5 = 24/5 - 9/5 = 15/5 = 3$

Nilai maksimumnya adalah 7.