Tentukan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan

Himpunan penyelesaiannya adalah (2, 3].

Pembahasan

Untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan, kita perlu menyelesaikan masing-masing pertidaksamaan terlebih dahulu, kemudian mencari irisan dari solusi kedua pertidaksamaan tersebut.

Pertidaksamaan 1: $(x^2 - x - 6)(2x^2 - 3x - 2) 
\le 0$

Kita faktorkan kedua ekspresi kuadrat:
$x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$
$2x^2 - 3x - 2 = (2x+1)(x-2)$

Sehingga pertidaksamaan menjadi: $(x-3)(x+2)(2x+1)(x-2) 
\le 0$

Cari akar-akar dari setiap faktor:
x = 3, x = -2, x = -1/2, x = 2

Gunakan garis bilangan untuk menentukan interval solusi. Uji nilai di setiap interval:
- Untuk x < -2 (misal x=-3): (-)(-)(-)(-) = (+) > 0
- Untuk -2 < x < -1/2 (misal x=-1): (-)(+)(-)(-) = (-) $\le$ 0
- Untuk -1/2 < x < 2 (misal x=0): (-)(+)(+)(-) = (+) > 0
- Untuk 2 < x < 3 (misal x=2.5): (-)(+)(+)(+) = (-) $\le$ 0
- Untuk x > 3 (misal x=4): (+)(+)(+)(+) = (+) > 0

Himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan pertama adalah $[-2, -1/2] \cup [2, 3]$.

Pertidaksamaan 2: $\frac{x-3}{x-4} \le \frac{x-1}{x-2}$

Pindahkan semua suku ke satu sisi:
$\frac{x-3}{x-4} - \frac{x-1}{x-2} \le 0$

Samakan penyebutnya:
$\frac{(x-3)(x-2) - (x-1)(x-4)}{(x-4)(x-2)} \le 0$
$\frac{(x^2 - 5x + 6) - (x^2 - 5x + 4)}{(x-4)(x-2)} \le 0$
$\frac{x^2 - 5x + 6 - x^2 + 5x - 4}{(x-4)(x-2)} \le 0$
$\frac{2}{(x-4)(x-2)} \le 0$

Karena pembilang (2) positif, agar hasil pertidaksamaan $\le 0$, penyebut harus negatif: $(x-4)(x-2) < 0$. Perhatikan bahwa penyebut tidak boleh nol, sehingga x $\ne$ 4 dan x $\ne$ 2.

Cari akar-akar penyebut:
x = 4, x = 2

Gunakan garis bilangan untuk menentukan interval solusi:
- Untuk x < 2 (misal x=0): (-)(-) = (+) > 0
- Untuk 2 < x < 4 (misal x=3): (-)(+) = (-) < 0
- Untuk x > 4 (misal x=5): (+)(+) = (+) > 0

Himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan kedua adalah $(2, 4)$.

Sekarang, kita cari irisan dari kedua himpunan penyelesaian:
Himpunan 1: $[-2, -1/2] \cup [2, 3]$
Himpunan 2: $(2, 4)$

Irisan dari kedua himpunan ini adalah $(2, 3]$.

Jadi, himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut adalah $(2, 3]$.