Kelas 11mathAljabar
Nilai minimum dari bentuk (3x+y) pada daerah penyelesaian
Pertanyaan
Nilai minimum dari bentuk (3x+y) pada daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan: 2x+y>=4; x+y>=3; x>=0; dan y>=0 adalah ....
Solusi
Verified
4
Pembahasan
Untuk mencari nilai minimum dari bentuk (3x+y) pada daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan 2x+y>=4, x+y>=3, x>=0, dan y>=0, kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian tersebut terlebih dahulu. 1. Cari titik potong dari garis-garis batas: - 2x + y = 4 - x + y = 3 Dengan mengurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama, kita dapatkan: (2x+y) - (x+y) = 4 - 3 => x = 1. Substitusikan x=1 ke persamaan x+y=3: 1 + y = 3 => y = 2. Jadi, titik potong pertama adalah (1, 2). - Cari titik potong dengan sumbu x dan y: - Untuk 2x+y=4: Jika x=0, y=4. Titik (0, 4). Jika y=0, 2x=4 => x=2. Titik (2, 0). - Untuk x+y=3: Jika x=0, y=3. Titik (0, 3). Jika y=0, x=3. Titik (3, 0). 2. Tentukan daerah penyelesaian: Karena semua pertidaksamaan adalah '>=' atau '>=0', daerah penyelesaian berada di kuadran I dan dibatasi oleh garis-garis tersebut yang mengarah ke atas atau ke kanan dari garis. 3. Titik-titik pojok daerah penyelesaian adalah: - Titik potong antara 2x+y=4 dan x+y=3 adalah (1, 2). - Titik potong antara x+y=3 dan sumbu x (y=0) adalah (3, 0). - Titik potong antara 2x+y=4 dan sumbu y (x=0) adalah (0, 4) -- perlu dicek apakah ini memenuhi x+y>=3. 0+4=4>=3. Ya. - Titik potong antara x+y=3 dan sumbu y (x=0) adalah (0, 3) -- perlu dicek apakah ini memenuhi 2x+y>=4. 2(0)+3=3. Tidak memenuhi. Jadi (0,3) bukan titik pojok. - Titik potong antara 2x+y=4 dan sumbu x (y=0) adalah (2, 0) -- perlu dicek apakah ini memenuhi x+y>=3. 2+0=2. Tidak memenuhi. Jadi (2,0) bukan titik pojok. Mari kita periksa kembali titik-titik pojok yang mungkin: - Perpotongan 2x+y=4 dan x+y=3 -> (1,2). - Perpotongan x+y=3 dan y=0 -> (3,0). - Perpotongan 2x+y=4 dan x=0 -> (0,4). - Perpotongan x+y=3 dan x=0 -> (0,3). Periksa dengan 2x+y>=4: 2(0)+3 = 3. Tidak memenuhi. - Perpotongan 2x+y=4 dan y=0 -> (2,0). Periksa dengan x+y>=3: 2+0 = 2. Tidak memenuhi. Titik pojok yang memenuhi semua pertidaksamaan adalah (1, 2) dan (3, 0). Kita perlu mencari titik potong sumbu y dengan garis 2x+y=4, yaitu (0,4). Periksa x+y>=3: 0+4=4>=3. Memenuhi. Kita perlu mencari titik potong sumbu x dengan garis x+y=3, yaitu (3,0). Periksa 2x+y>=4: 2(3)+0=6>=4. Memenuhi. Perpotongan 2x+y=4 dengan x+y=3 adalah (1,2). Periksa x>=0, y>=0. Memenuhi. Jadi, titik pojok yang valid adalah (1, 2), (3, 0), dan (0, 4). 4. Substitusikan titik-titik pojok ke dalam fungsi tujuan (3x+y): - Di (1, 2): 3(1) + 2 = 3 + 2 = 5 - Di (3, 0): 3(3) + 0 = 9 + 0 = 9 - Di (0, 4): 3(0) + 4 = 0 + 4 = 4 Nilai minimum dari bentuk (3x+y) adalah 4.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Program Linear
Section: Nilai Optimum Fungsi Tujuan
Apakah jawaban ini membantu?