Nilai minimum dari kurva fungsi f(x) =x + 2 cos x untuk 0

Nilai minimum fungsi adalah $\frac{5\pi}{6} - \sqrt{3}$.

Pembahasan

Untuk mencari nilai minimum dari kurva fungsi $f(x) = x + 2 	ext{ cos } x$ pada interval $0 < x < 2	ext{pi}$, kita perlu menggunakan kalkulus.

Langkah 1: Cari turunan pertama dari fungsi $f(x)$ terhadap $x$.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x + 2 	ext{ cos } x)$
$f'(x) = 1 - 2 	ext{ sin } x$

Langkah 2: Tentukan titik kritis dengan menyamakan turunan pertama dengan nol.
$f'(x) = 0$
$1 - 2 	ext{ sin } x = 0$
$2 	ext{ sin } x = 1$
$	ext{sin } x = \frac{1}{2}$

Pada interval $0 < x < 2	ext{pi}$, nilai x yang memenuhi $	ext{sin } x = \frac{1}{2}$ adalah $x = \frac{\pi}{6}$ dan $x = \frac{5\pi}{6}$.

Langkah 3: Gunakan turunan kedua untuk menentukan apakah titik kritis tersebut adalah minimum atau maksimum.
Turunan kedua dari $f(x)$ adalah:
$f''(x) = \frac{d}{dx}(1 - 2 	ext{ sin } x)$
$f''(x) = -2 	ext{ cos } x$

Sekarang, evaluasi $f''(x)$ pada titik-titik kritis:
Untuk $x = \frac{\pi}{6}$:
$f''(\frac{\pi}{6}) = -2 	ext{ cos } (\frac{\pi}{6}) = -2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$
Karena $f''(\frac{\pi}{6}) < 0$, maka pada $x = \frac{\pi}{6}$ terdapat nilai maksimum lokal.

Untuk $x = \frac{5\pi}{6}$:
$f''(\frac{5\pi}{6}) = -2 	ext{ cos } (\frac{5\pi}{6}) = -2 	imes (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3}$
Karena $f''(\frac{5\pi}{6}) > 0$, maka pada $x = \frac{5\pi}{6}$ terdapat nilai minimum lokal.

Langkah 4: Hitung nilai fungsi $f(x)$ pada titik minimum lokal tersebut.
$f(\frac{5\pi}{6}) = \frac{5\pi}{6} + 2 	ext{ cos } (\frac{5\pi}{6})$
$f(\frac{5\pi}{6}) = \frac{5\pi}{6} + 2 \times (-\frac{\sqrt{3}}{2})$
$f(\frac{5\pi}{6}) = \frac{5\pi}{6} - \sqrt{3}$

Kita juga perlu memeriksa nilai fungsi pada batas interval, meskipun intervalnya terbuka. Namun, karena kita mencari nilai minimum, nilai minimum lokal yang ditemukan adalah kandidat utama. Nilai minimum fungsi pada interval $0 < x < 2	ext{pi}$ adalah $\frac{5\pi}{6} - \sqrt{3}$.