Nilai minimum f(x)=4 cos^2 x+14 sin^2 x+ 24 sin x cos x+14

Nilai minimumnya adalah 10.

Pembahasan

Untuk mencari nilai minimum dari fungsi f(x) = 4 cos^2 x + 14 sin^2 x + 24 sin x cos x + 14, kita dapat menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan ekspresi tersebut.

Kita tahu bahwa:
*   cos^2 x = (1 + cos 2x) / 2
*   sin^2 x = (1 - cos 2x) / 2
*   2 sin x cos x = sin 2x

Substitusikan identitas ini ke dalam fungsi f(x):

f(x) = 4 * [(1 + cos 2x) / 2] + 14 * [(1 - cos 2x) / 2] + 12 * (2 sin x cos x) + 14

Sederhanakan:

f(x) = 2(1 + cos 2x) + 7(1 - cos 2x) + 12 sin 2x + 14

f(x) = 2 + 2 cos 2x + 7 - 7 cos 2x + 12 sin 2x + 14

Gabungkan suku-suku yang serupa:

f(x) = (2 + 7 + 14) + (2 cos 2x - 7 cos 2x) + 12 sin 2x

f(x) = 23 - 5 cos 2x + 12 sin 2x

Sekarang, kita perlu mencari nilai minimum dari ekspresi berbentuk A cos θ + B sin θ, yang dapat ditulis sebagai R sin(θ + α) atau R cos(θ - α), di mana R = sqrt(A^2 + B^2).

Dalam kasus kita, kita memiliki -5 cos 2x + 12 sin 2x. Di sini, A = -5 dan B = 12.

R = sqrt((-5)^2 + 12^2)
R = sqrt(25 + 144)
R = sqrt(169)
R = 13

Jadi, -5 cos 2x + 12 sin 2x dapat ditulis sebagai 13 sin(2x + α) atau 13 cos(2x - β) untuk beberapa sudut α atau β.

Nilai maksimum dari sin(θ) atau cos(θ) adalah 1, dan nilai minimumnya adalah -1.

Maka, nilai minimum dari 13 sin(2x + α) adalah 13 * (-1) = -13.
Dan nilai minimum dari 13 cos(2x - β) adalah 13 * (-1) = -13.

Sekarang substitusikan kembali ke f(x):

f(x) = 23 + (-5 cos 2x + 12 sin 2x)

f(x) = 23 + (nilai minimum dari -5 cos 2x + 12 sin 2x)

f(x) = 23 + (-13)

f(x) = 10

Jadi, nilai minimum dari f(x) adalah 10.