Nilai minimum fungsi objektif z=x+3y yang memenuhi

8

Pembahasan

Untuk mencari nilai minimum fungsi objektif z = x + 3y dengan kendala yang diberikan, kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian. Kendalanya adalah:
1. 3x + 2y >= 12
2. x + 2y >= 8
3. x + y <= 8
4. x >= 0

Langkah-langkahnya:
1. Cari titik potong dari setiap garis:
   - Garis 3x + 2y = 12 dan x + 2y = 8:
     Kurangkan persamaan kedua dari pertama: (3x - x) + (2y - 2y) = 12 - 8 => 2x = 4 => x = 2.
     Substitusikan x = 2 ke x + 2y = 8 => 2 + 2y = 8 => 2y = 6 => y = 3. Titik potong: (2, 3).
   - Garis x + 2y = 8 dan x + y = 8:
     Kurangkan persamaan kedua dari pertama: (x - x) + (2y - y) = 8 - 8 => y = 0.
     Substitusikan y = 0 ke x + y = 8 => x + 0 = 8 => x = 8. Titik potong: (8, 0).
   - Garis 3x + 2y = 12 dan x + y = 8:
     Kalikan persamaan kedua dengan 2: 2x + 2y = 16.
     Kurangkan persamaan pertama dari yang baru: (2x - 3x) + (2y - 2y) = 16 - 12 => -x = 4 => x = -4. Karena x harus >= 0, titik ini tidak relevan.
   - Cari titik potong dengan sumbu x (y=0) dan sumbu y (x=0) untuk masing-masing garis.
     Untuk 3x + 2y = 12: jika x=0, 2y=12, y=6 (0,6). Jika y=0, 3x=12, x=4 (4,0).
     Untuk x + 2y = 8: jika x=0, 2y=8, y=4 (0,4). Jika y=0, x=8 (8,0).
     Untuk x + y = 8: jika x=0, y=8 (0,8). Jika y=0, x=8 (8,0).

2. Gambar daerah penyelesaian dari pertidaksamaan.
   - 3x + 2y >= 12: daerah di atas garis 3x+2y=12.
   - x + 2y >= 8: daerah di atas garis x+2y=8.
   - x + y <= 8: daerah di bawah garis x+y=8.
   - x >= 0: daerah di sebelah kanan sumbu y.

3. Identifikasi titik-titik pojok daerah penyelesaian yang memenuhi semua kendala.
   Titik-titik pojok yang relevan adalah (2, 3), (8, 0), dan titik potong antara x+2y=8 dan x+y=8 yaitu (8,0) namun ini juga titik potong dengan x+y=8, dan titik potong antara 3x+2y=12 dan x+y=8 yang menghasilkan x=-4 (tidak valid).
   Kita perlu mencari titik potong antara 3x+2y=12 dan x+y=8. Dari x+y=8, y=8-x. Substitusikan ke 3x+2y=12: 3x+2(8-x)=12 => 3x+16-2x=12 => x = -4. Titik ini tidak valid karena x>=0.
   Titik pojok yang sah adalah: (2,3), (4,0) [dari 3x+2y=12 dan y=0], dan (8,0) [dari x+2y=8 dan y=0].
   Periksa apakah titik-titik ini memenuhi semua kendala:
   - (2,3): 3(2)+2(3)=12>=12 (benar), 2+2(3)=8>=8 (benar), 2+3=5<=8 (benar), 2>=0 (benar). Titik (2,3) adalah pojok.
   - (4,0): 3(4)+2(0)=12>=12 (benar), 4+2(0)=4>=8 (salah). Titik (4,0) bukan pojok daerah penyelesaian.
   - (8,0): 3(8)+2(0)=24>=12 (benar), 8+2(0)=8>=8 (benar), 8+0=8<=8 (benar), 8>=0 (benar). Titik (8,0) adalah pojok.
   - Kita juga perlu titik potong antara 3x+2y=12 dan x+y=8. Titik ini tidak relevan karena kita mencari daerah di mana x+y<=8.
   - Kita perlu titik potong antara x+2y=8 dan x+y=8. Titik ini adalah (8,0).
   - Kita perlu titik potong antara 3x+2y=12 dan x>=0 (sumbu y). Titik (0,6). Periksa kendala lain: 0+2(6)=12>=8 (benar), 0+6=6<=8 (benar). Titik (0,6) adalah pojok.
   - Kita perlu titik potong antara x+2y=8 dan x>=0 (sumbu y). Titik (0,4). Periksa kendala lain: 3(0)+2(4)=8>=12 (salah). Titik (0,4) bukan pojok daerah penyelesaian.

   Titik-titik pojok yang memenuhi semua kendala adalah: (2, 3), (8, 0), dan (0, 6).

4. Substitusikan titik-titik pojok ke fungsi objektif z = x + 3y:
   - Untuk (2, 3): z = 2 + 3(3) = 2 + 9 = 11.
   - Untuk (8, 0): z = 8 + 3(0) = 8.
   - Untuk (0, 6): z = 0 + 3(6) = 18.

Nilai minimum fungsi objektif adalah 8.