Tentukan dari sistem persamaan berikut 2x+4y=8 5x+3y=15

Sistem 1 (2x+4y=8, 5x+3y=15) memiliki tepat satu penyelesaian {(18/7, 5/7)}. Sistem 2 (2x+3y=10, 4x+6y=20) memiliki banyak penyelesaian karena kedua persamaan identik. Sistem 3 (x+y=2, x-y=1) memiliki tepat satu penyelesaian {(3/2, 1/2)}.

Pembahasan

Untuk menganalisis sistem persamaan linear:
1.  2x + 4y = 8
    5x + 3y = 15
    2.  2x + 3y = 10
        4x + 6y = 20
    3.  x + y = 2
        x - y = 1

Kita akan menganalisis masing-masing sistem:

Sistem 1:
2x + 4y = 8
5x + 3y = 15
Untuk menguji banyaknya penyelesaian, kita bisa menggunakan determinan atau metode eliminasi/substitusi.
Jika kita kalikan persamaan pertama dengan 5 dan persamaan kedua dengan 2:
10x + 20y = 40
10x + 6y = 30
Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
(10x + 20y) - (10x + 6y) = 40 - 30
14y = 10
y = 10/14 = 5/7
Substitusikan y ke persamaan pertama:
2x + 4(5/7) = 8
2x + 20/7 = 8
2x = 8 - 20/7
2x = (56 - 20) / 7
2x = 36/7
x = 18/7
Karena kita mendapatkan nilai x dan y yang unik, sistem ini memiliki **tepat satu penyelesaian**.
Himpunan penyelesaian: {(18/7, 5/7)}
Grafik: Dua garis lurus yang berpotongan di satu titik.

Sistem 2:
2x + 3y = 10
4x + 6y = 20
Perhatikan bahwa persamaan kedua adalah dua kali persamaan pertama. Jika kita kalikan persamaan pertama dengan 2, kita mendapatkan 4x + 6y = 20, yang identik dengan persamaan kedua.
Ini berarti kedua persamaan mewakili garis yang sama. Oleh karena itu, sistem ini memiliki **banyak penyelesaian**.
Himpunan penyelesaian: Semua pasangan (x, y) yang memenuhi 2x + 3y = 10.
Grafik: Dua garis lurus yang berimpit.

Sistem 3:
x + y = 2
x - y = 1
Jika kita jumlahkan kedua persamaan:
(x + y) + (x - y) = 2 + 1
2x = 3
x = 3/2
Substitusikan x ke persamaan pertama:
3/2 + y = 2
y = 2 - 3/2
y = (4 - 3) / 2
y = 1/2
Karena kita mendapatkan nilai x dan y yang unik, sistem ini memiliki **tepat satu penyelesaian**.
Himpunan penyelesaian: {(3/2, 1/2)}
Grafik: Dua garis lurus yang berpotongan di satu titik.

Untuk sistem yang tidak memiliki penyelesaian, contohnya adalah ketika dua garis sejajar namun tidak berimpit.
Contoh: x + y = 2 dan x + y = 3. Gradiennya sama tetapi konstanta berbeda.

Perbandingan dengan sistem yang diberikan:
Sistem 1 (2x+4y=8, 5x+3y=15): Memiliki tepat satu penyelesaian.
Sistem 2 (2x+3y=10, 4x+6y=20): Memiliki banyak penyelesaian karena persamaan kedua adalah kelipatan dari persamaan pertama.
Sistem 3 (x+y=2, x-y=1): Memiliki tepat satu penyelesaian.

Tambahan: Jika ada sistem seperti 2x + 3y = 10 dan 2x + 3y = 12, maka sistem tersebut tidak memiliki penyelesaian karena gradiennya sama tetapi konstanta berbeda (garis sejajar).