Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan cos(2x)-5cos x=2

Nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(120^{\circ}\) dan \(240^{\circ}\).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan \(cos(2x)-5cos x=2\) dengan \(0 \le x < 360^{\circ}\), kita akan menggunakan identitas trigonometri untuk \(cos(2x)\) dan mengubah persamaan menjadi bentuk yang lebih sederhana.

Identitas yang relevan adalah \(cos(2x) = 2cos^2(x) - 1\).
Substitusikan identitas ini ke dalam persamaan:
\((2cos^2(x) - 1) - 5cos x = 2\)

Susun ulang persamaan menjadi bentuk kuadrat dalam \(cos x\):
\(2cos^2(x) - 5cos x - 1 - 2 = 0\)
\(2cos^2(x) - 5cos x - 3 = 0\)

Misalkan \(y = cos x\). Persamaan menjadi:
\(2y^2 - 5y - 3 = 0\)

Faktorkan persamaan kuadrat:
\((2y + 1)(y - 3) = 0\)

Ini memberikan dua kemungkinan solusi untuk \(y\):
1. \(2y + 1 = 0 \implies y = -1/2\)
2. \(y - 3 = 0 \implies y = 3\)

Karena \(y = cos x\), kita substitusikan kembali:
1. \(cos x = -1/2\)
Nilai \(x\) dalam \(0^{\circ} \le x < 360^{\circ}\) yang memiliki kosinus -1/2 adalah di kuadran II dan III. Nilai sudut referensinya adalah \(60^{\circ}\) (karena \(cos 60^{\circ} = 1/2\)).
   - Kuadran II: \(x = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\)
   - Kuadran III: \(x = 180^{\circ} + 60^{\circ} = 240^{\circ}\)

2. \(cos x = 3\)
Nilai kosinus tidak pernah bisa lebih dari 1 atau kurang dari -1. Oleh karena itu, \(cos x = 3\) tidak memiliki solusi real.

Jadi, nilai-nilai \(x\) yang memenuhi persamaan adalah \(120^{\circ}\) dan \(240^{\circ}\).