Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga yang panjang

Nilai sinus sudut terkecil adalah 5*sqrt(105)/63.

Pembahasan

Kita dapat menggunakan aturan kosinus untuk mencari salah satu sudut terlebih dahulu. Misalkan sisi-sisinya adalah a = 5, b = 6, dan c = sqrt(21). Kita cari sudut C yang berhadapan dengan sisi c.

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C)
(sqrt(21))^2 = 5^2 + 6^2 - 2(5)(6) cos(C)
21 = 25 + 36 - 60 cos(C)
21 = 61 - 60 cos(C)
60 cos(C) = 61 - 21
60 cos(C) = 40
cos(C) = 40/60 = 2/3.

Untuk mencari nilai sinus, kita bisa menggunakan identitas trigonometri sin^2(C) + cos^2(C) = 1.
sin^2(C) = 1 - cos^2(C)
sin^2(C) = 1 - (2/3)^2
sin^2(C) = 1 - 4/9
sin^2(C) = 5/9
sin(C) = sqrt(5/9) = sqrt(5)/3.

Karena C adalah sudut dalam segitiga, maka sin(C) positif. Kita perlu memastikan apakah ini sudut terkecil. Mari kita cek sudut-sudut lain menggunakan aturan kosinus.

Mencari sudut A (berhadapan dengan sisi a=5):
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos(A)
5^2 = 6^2 + (sqrt(21))^2 - 2(6)(sqrt(21)) cos(A)
25 = 36 + 21 - 12*sqrt(21) cos(A)
25 = 57 - 12*sqrt(21) cos(A)
12*sqrt(21) cos(A) = 57 - 25
12*sqrt(21) cos(A) = 32
cos(A) = 32 / (12*sqrt(21)) = 8 / (3*sqrt(21)) = 8*sqrt(21) / 63.
Nilai cos(A) positif, maka A adalah sudut lancip.

Mencari sudut B (berhadapan dengan sisi b=6):
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cos(B)
6^2 = 5^2 + (sqrt(21))^2 - 2(5)(sqrt(21)) cos(B)
36 = 25 + 21 - 10*sqrt(21) cos(B)
36 = 46 - 10*sqrt(21) cos(B)
10*sqrt(21) cos(B) = 46 - 36
10*sqrt(21) cos(B) = 10
cos(B) = 10 / (10*sqrt(21)) = 1 / sqrt(21) = sqrt(21) / 21.
Nilai cos(B) positif, maka B adalah sudut lancip.

Untuk menentukan sudut terkecil, kita perlu membandingkan nilai cosinusnya. Sudut terkecil berhadapan dengan sisi terpendek. Sisi terpendek adalah a = 5. Jadi sudut terkecil adalah A.

Kita sudah hitung cos(A) = 8*sqrt(21) / 63.
Sekarang kita hitung sin(A) menggunakan sin^2(A) + cos^2(A) = 1.
sin^2(A) = 1 - (8*sqrt(21) / 63)^2
sin^2(A) = 1 - (64 * 21) / (63 * 63)
sin^2(A) = 1 - 1344 / 3969
sin^2(A) = (3969 - 1344) / 3969
sin^2(A) = 2625 / 3969.
Kita bisa sederhanakan pembilang dan penyebutnya. Keduanya bisa dibagi 9.
2625 / 9 = 291.66... (tidak habis dibagi 9)
Mari kita cek pembagian dengan 3:
2625 / 3 = 875
3969 / 3 = 1323
875 / 5 = 175
1323 / 3 = 441
441 = 21^2
Jadi, 3969 = 9 * 441 = 9 * 21^2 = 3^2 * (3*7)^2 = 3^2 * 3^2 * 7^2 = 3^4 * 7^2
2625 = 5 * 525 = 5 * 5 * 105 = 5 * 5 * 5 * 21 = 5^3 * 3 * 7
sin^2(A) = (5^3 * 3 * 7) / (3^4 * 7^2) = 5^3 / (3^3 * 7) = 125 / (27 * 7) = 125 / 189.

sin(A) = sqrt(125 / 189) = sqrt(125) / sqrt(189) = sqrt(25 * 5) / sqrt(9 * 21) = 5*sqrt(5) / (3*sqrt(21)) = (5*sqrt(5)*sqrt(21)) / (3*21) = 5*sqrt(105) / 63.

Nilai sinus sudut terkecil adalah sin(A) = 5*sqrt(105)/63.