Hitunglah volume benda putar yang terjadi, jika daerah yang

Volume benda putar yang terjadi adalah 21π satuan volume.

Pembahasan

Untuk menghitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh garis y=4x, y=2x+1, x=1 dan x=2 diputar mengelilingi sumbu X, kita dapat menggunakan metode cakram (disk method) atau metode cincin (washer method).

Dalam kasus ini, karena terdapat dua fungsi yang membatasi daerah tersebut, kita akan menggunakan metode cincin. Volume benda putar dapat dihitung dengan rumus:

V = π ∫[a, b] (R(x)² - r(x)²) dx

Dimana:
- R(x) adalah jari-jari luar (fungsi yang lebih jauh dari sumbu putar, yaitu y=4x).
- r(x) adalah jari-jari dalam (fungsi yang lebih dekat ke sumbu putar, yaitu y=2x+1).
- a dan b adalah batas integrasi (x=1 dan x=2).

Maka, kita punya:

R(x) = 4x
r(x) = 2x + 1
a = 1
b = 2

Substitusikan ke dalam rumus volume:

V = π ∫[1, 2] ((4x)² - (2x + 1)²) dx
V = π ∫[1, 2] (16x² - (4x² + 4x + 1)) dx
V = π ∫[1, 2] (16x² - 4x² - 4x - 1) dx
V = π ∫[1, 2] (12x² - 4x - 1) dx

Selanjutnya, kita integralkan fungsi tersebut:

V = π [4x³ - 2x² - x] |[1, 2]
V = π [(4(2)³ - 2(2)² - 2) - (4(1)³ - 2(1)² - 1)]
V = π [(4(8) - 2(4) - 2) - (4 - 2 - 1)]
V = π [(32 - 8 - 2) - (1)]
V = π [22 - 1]
V = 21π

Jadi, volume benda putar yang terjadi adalah 21π satuan volume.