Nilai x dan y sehingga fungsi objektif 5x+8y maksimum jika

x=12, y=6

Pembahasan

Untuk mencari nilai x dan y yang memaksimalkan fungsi objektif 5x+8y dengan syarat 2x+y<=30, x+2y<=24, x>=0, dan y>=0, kita perlu menggunakan metode program linear.

Langkah 1: Tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian yang dibatasi oleh garis-garis kendala.
Garis 1: 2x + y = 30
Garis 2: x + 2y = 24
Garis 3: x = 0 (sumbu y)
Garis 4: y = 0 (sumbu x)

Titik potong sumbu x dan y:
- Dari 2x + y = 30: jika x=0, y=30 (titik (0,30)); jika y=0, x=15 (titik (15,0))
- Dari x + 2y = 24: jika x=0, y=12 (titik (0,12)); jika y=0, x=24 (titik (24,0))

Titik potong antara Garis 1 dan Garis 2:
Kalikan Garis 1 dengan 2: 4x + 2y = 60
Kurangkan dengan Garis 2: (4x + 2y) - (x + 2y) = 60 - 24
3x = 36
x = 12
Substitusikan x=12 ke Garis 1: 2(12) + y = 30
24 + y = 30
y = 6
Jadi, titik potongnya adalah (12, 6).

Titik-titik pojok yang memenuhi semua syarat adalah: (0,0), (15,0), (0,12), dan (12,6).

Langkah 2: Substitusikan titik-titik pojok ke fungsi objektif (Z = 5x + 8y).
- Di titik (0,0): Z = 5(0) + 8(0) = 0
- Di titik (15,0): Z = 5(15) + 8(0) = 75
- Di titik (0,12): Z = 5(0) + 8(12) = 96
- Di titik (12,6): Z = 5(12) + 8(6) = 60 + 48 = 108

Nilai maksimum fungsi objektif adalah 108, yang dicapai pada saat x=12 dan y=6. Karena soal menyatakan x,y, e C (bilangan bulat), maka nilai x=12 dan y=6 adalah solusi yang valid.