Tentukanlah bayangan kurva-kurva berikut ini! Lingkaran

Bayangan akhir kurva lingkaran adalah x^2 + (y + 1)^2 = 9.

Pembahasan

Untuk menentukan bayangan kurva lingkaran yang berpusat di (2, -3) dan menyinggung sumbu-x, kita perlu melakukan dua transformasi geometri:

1. **Rotasi 90 derajat searah jarum jam dengan pusat P(2, 0):**
   - Persamaan lingkaran awal: Karena menyinggung sumbu-x di (2,0), pusatnya adalah (2,-3) dan jari-jarinya adalah jarak dari pusat ke sumbu-x, yaitu |-3| = 3. Persamaan lingkaran adalah (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 3^2 = 9.
   - Transformasi rotasi 90 derajat searah jarum jam dengan pusat (h, k) mengubah titik (x, y) menjadi (h + (y - k), k - (x - h)).
   - Dalam kasus ini, (h, k) = (2, 0). Maka titik (x, y) menjadi (2 + (y - 0), 0 - (x - 2)) = (2 + y, -x + 2).
   - Misalkan bayangan titik adalah (x', y'), sehingga x' = 2 + y dan y' = -x + 2.
   - Dari sini, kita dapatkan y = x' - 2 dan x = -y' + 2.
   - Substitusikan nilai x dan y ke dalam persamaan lingkaran awal:
     ((-y' + 2) - 2)^2 + ((x' - 2) + 3)^2 = 9
     (-y')^2 + (x' + 1)^2 = 9
     y'^2 + (x' + 1)^2 = 9
   - Persamaan lingkaran setelah rotasi adalah (x + 1)^2 + y^2 = 9.

2. **Pencerminan terhadap garis y = x:**
   - Pencerminan terhadap garis y = x mengubah titik (x, y) menjadi (y, x).
   - Misalkan bayangan titik setelah pencerminan adalah (x", y"), sehingga x" = y dan y" = x.
   - Substitusikan nilai x dan y dari persamaan lingkaran setelah rotasi ke dalam transformasi pencerminan:
     Ganti x dengan y" dan y dengan x".
     (y" + 1)^2 + (x")^2 = 9
     (x)^2 + (y + 1)^2 = 9

Jadi, bayangan akhir kurva lingkaran adalah lingkaran dengan persamaan x^2 + (y + 1)^2 = 9. Lingkaran ini berpusat di (0, -1) dengan jari-jari 3.