Nilai x yang memenuhi persamaan 64 x 9^x - 84 x 12^x + 27 x

x = 1 dan x = 2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan eksponensial $64 \times 9^x - 84 \times 12^x + 27 \times 16^x = 0$, kita bisa mengubahnya ke dalam bentuk persamaan kuadrat.

Perhatikan bahwa $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$, $12^x = (3 	imes 4)^x = 3^x 	imes 4^x$, dan $16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$.

Persamaan dapat ditulis ulang sebagai:
$64 \times (3^x)^2 - 84 \times (3^x 	imes 4^x) + 27 \times (4^x)^2 = 0$

Bagi seluruh persamaan dengan $(4^x)^2$ (asumsikan $4^x \neq 0$):
$64 \times (3^x/4^x)^2 - 84 \times (3^x/4^x) + 27 = 0$
$64 \times (3/4)^2x - 84 \times (3/4)^x + 27 = 0$

Misalkan $y = (3/4)^x$. Maka persamaan menjadi:
$64y^2 - 84y + 27 = 0$

Ini adalah persamaan kuadrat dalam y. Kita bisa menyelesaikannya menggunakan faktorisasi atau rumus kuadrat.
Faktorisasi:
$(8y - 3)(8y - 9) = 0$

Maka, $8y - 3 = 0$ atau $8y - 9 = 0$.
$y = 3/8$ atau $y = 9/8$.

Sekarang substitusikan kembali $y = (3/4)^x$:

Kasus 1: $(3/4)^x = 3/8$
Ini sulit diselesaikan secara langsung tanpa logaritma.

Kasus 2: $(3/4)^x = 9/8$
Ini juga sulit diselesaikan secara langsung tanpa logaritma.

Mari kita cek kembali faktorisasi atau soalnya. Jika soalnya adalah $64 	imes (3^x)^2 - 84 	imes (3^x 	imes 4^x) + 27 	imes (4^x)^2 = 0$, maka solusi yang mungkin adalah:

Kita bisa juga membagi dengan $(3^x)^2$: $64 - 84(4^x/3^x) + 27(4^x/3^x)^2 = 0$. Misal $z = (4/3)^x$. Maka $27z^2 - 84z + 64 = 0$. Faktorisasi: $(3z-4)(9z-16)=0$. $z=4/3$ atau $z=16/9$. Jika $z=(4/3)^x = 4/3$, maka $x=1$. Jika $z=(4/3)^x = 16/9 = (4/3)^2$, maka $x=2$.

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 1 dan 2.