Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 1/2log(x^2+2x)<-3

-4 < x < -2 atau 0 < x < 2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ^(1/2)log(x^2 + 2x) < -3, kita perlu mengubah basis logaritma menjadi bentuk yang lebih mudah dihitung atau menggunakan sifat logaritma secara langsung.

Ingat bahwa ^alogb = c setara dengan a^c = b.
Dalam kasus ini, basis logaritma adalah 1/2, yang kurang dari 1. Ketika kita menghilangkan logaritma dari pertidaksamaan dengan basis kurang dari 1, arah pertidaksamaan berubah.

^(1/2)log(x^2 + 2x) < -3

Mengubah ke bentuk eksponensial:
(1/2)^(-3) > x^2 + 2x  (Arah pertidaksamaan berbalik karena basis < 1)

Hitung (1/2)^(-3):
(1/2)^(-3) = 1 / (1/2)^3 = 1 / (1/8) = 8.

Pertidaksamaan menjadi:
8 > x^2 + 2x

Susun ulang menjadi bentuk kuadrat:
x^2 + 2x - 8 < 0

Cari akar-akar dari persamaan kuadrat x^2 + 2x - 8 = 0:
Faktorkan: (x + 4)(x - 2) = 0
Akar-akarnya adalah x = -4 dan x = 2.

Karena pertidaksamaan adalah '< 0', maka nilai x berada di antara akar-akarnya.
x^2 + 2x - 8 < 0  ketika -4 < x < 2.

Namun, kita juga harus mempertimbangkan domain dari logaritma, yaitu argumen logaritma harus positif:
x^2 + 2x > 0
Faktorkan: x(x + 2) > 0
Akar-akarnya adalah x = 0 dan x = -2.
Pertidaksamaan ini terpenuhi ketika x < -2 atau x > 0.

Sekarang, kita harus mencari irisan dari kedua kondisi:
1. -4 < x < 2
2. x < -2 atau x > 0

Irisan dari kedua kondisi ini adalah:
-4 < x < -2 atau 0 < x < 2.

Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah -4 < x < -2 atau 0 < x < 2.