Kelas 12Kelas 11mathAljabar
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3^(2x+1)-28.3^x-9>0
Pertanyaan
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3^(2x+1)-28.3^x-9>0 adalah ...
Solusi
Verified
x > log_3((14 + sqrt(223))/3)
Pembahasan
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponensial ini, kita akan menggunakan substitusi. Misalkan y = 3^x. Maka, 3^(2x+1) = 3^(2x) * 3^1 = (3^x)^2 * 3 = 3y^2. Pertidaksamaan menjadi: 3y^2 - 28y - 9 > 0. Kita cari akar-akar dari persamaan kuadrat 3y^2 - 28y - 9 = 0 menggunakan rumus kuadratik: y = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a y = [28 ± sqrt((-28)^2 - 4 * 3 * (-9))] / (2 * 3) y = [28 ± sqrt(784 + 108)] / 6 y = [28 ± sqrt(892)] / 6 y = [28 ± 2 * sqrt(223)] / 6 y = [14 ± sqrt(223)] / 3 Akar-akarnya adalah y1 = (14 - sqrt(223))/3 dan y2 = (14 + sqrt(223))/3. Karena koefisien y^2 positif (3 > 0), parabola terbuka ke atas. Pertidaksamaan 3y^2 - 28y - 9 > 0 terpenuhi ketika y < y1 atau y > y2. Karena y = 3^x, maka y harus positif. Nilai y1 = (14 - sqrt(223))/3 adalah negatif (karena sqrt(223) kira-kira 14.9), sehingga kita hanya mempertimbangkan y > y2. 3^x > (14 + sqrt(223))/3 Untuk menemukan nilai x, kita gunakan logaritma. log(3^x) > log((14 + sqrt(223))/3) x * log(3) > log((14 + sqrt(223))/3) x > log((14 + sqrt(223))/3) / log(3) x > log_3((14 + sqrt(223))/3) Dengan menghitung nilai numeriknya: sqrt(223) ≈ 14.93 y2 ≈ (14 + 14.93) / 3 ≈ 28.93 / 3 ≈ 9.64 x > log_3(9.64) Karena 3^2 = 9 dan 3^3 = 27, maka log_3(9.64) berada di antara 2 dan 3. x > 2.05 (kira-kira) Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah x > log_3((14 + sqrt(223))/3).
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Pertidaksamaan Eksponensial
Section: Pertidaksamaan Eksponensial Lanjutan
Apakah jawaban ini membantu?