Nilai x yang memenuhi saat fungsi f(x)=-2 cos (3 x)-akar(2)

13π/12 dan 19π/12

Pembahasan

Untuk menemukan nilai x di mana fungsi f(x) = -2 cos(3x) - √2 memotong sumbu X, kita perlu mengatur f(x) = 0 dan menyelesaikan persamaan tersebut untuk x dalam interval yang diberikan.

Fungsi: f(x) = -2 cos(3x) - √2
Interval: π ≤ x ≤ (3/2)π

Langkah 1: Atur f(x) = 0
-2 cos(3x) - √2 = 0

Langkah 2: Selesaikan untuk cos(3x)
-2 cos(3x) = √2
cos(3x) = -√2 / 2

Langkah 3: Cari nilai sudut 3x
Kita tahu bahwa cosinus bernilai negatif di kuadran II dan III. Nilai cosinus yang sama dengan √2 / 2 terjadi pada sudut π/4 (45°). 

Maka, solusi untuk cos(θ) = -√2 / 2 adalah:
Di kuadran II: θ = π - π/4 = 3π/4
Di kuadran III: θ = π + π/4 = 5π/4

Jadi, kita memiliki:
3x = 3π/4 + 2kπ  atau  3x = 5π/4 + 2kπ  (di mana k adalah bilangan bulat)

Langkah 4: Selesaikan untuk x
Untuk kasus pertama (3x = 3π/4 + 2kπ):
x = (3π/4) / 3 + (2kπ) / 3
x = π/4 + (2kπ)/3

Untuk kasus kedua (3x = 5π/4 + 2kπ):
x = (5π/4) / 3 + (2kπ) / 3
x = 5π/12 + (2kπ)/3

Langkah 5: Terapkan interval π ≤ x ≤ (3/2)π
Kita perlu mencari nilai k yang menghasilkan x dalam interval yang diberikan.

Untuk x = π/4 + (2kπ)/3:
Jika k=0, x = π/4 (tidak dalam interval)
Jika k=1, x = π/4 + 2π/3 = (3π + 8π)/12 = 11π/12 (tidak dalam interval)
Jika k=2, x = π/4 + 4π/3 = (3π + 16π)/12 = 19π/12 (dalam interval π ≤ x ≤ 3π/2)

Untuk x = 5π/12 + (2kπ)/3:
Jika k=0, x = 5π/12 (tidak dalam interval)
Jika k=1, x = 5π/12 + 2π/3 = (5π + 8π)/12 = 13π/12 (dalam interval π ≤ x ≤ 3π/2)
Jika k=2, x = 5π/12 + 4π/3 = (5π + 16π)/12 = 21π/12 = 7π/4 (tidak dalam interval)

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 11π/12 dan 13π/12. Namun, setelah diperiksa kembali, nilai k=1 untuk kasus pertama menghasilkan 11π/12 yang tidak masuk interval. Mari kita periksa kembali.

Mari kita ubah batas interval untuk 3x:
Karena π ≤ x ≤ (3/2)π, maka 3π ≤ 3x ≤ (9/2)π.

Kita cari solusi 3x = 3π/4 + 2kπ dan 3x = 5π/4 + 2kπ dalam rentang 3π ≤ 3x ≤ (9/2)π.

Untuk 3x = 3π/4 + 2kπ:
Jika k=1, 3x = 3π/4 + 2π = 11π/4 (tidak dalam rentang)
Jika k=2, 3x = 3π/4 + 4π = 19π/4 (dalam rentang 3π ≤ 3x ≤ 4.5π)

Untuk 3x = 5π/4 + 2kπ:
Jika k=1, 3x = 5π/4 + 2π = 13π/4 (dalam rentang 3π ≤ 3x ≤ 4.5π)
Jika k=2, 3x = 5π/4 + 4π = 21π/4 (tidak dalam rentang)

Maka, nilai 3x yang memenuhi adalah 19π/4 dan 13π/4.

Sekarang cari x:
x = (19π/4) / 3 = 19π/12
x = (13π/4) / 3 = 13π/12

Kedua nilai ini berada dalam interval π ≤ x ≤ (3/2)π.

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 13π/12 dan 19π/12.