Nyatakan bentuk sin^2x+2sin xcos x-cos^2x ke bentuk

$\sqrt{2}\cos(2x+225^{\circ})$

Pembahasan

Bentuk $\sin^2x+2\sin x\cos x-\cos^2x$ dapat diubah ke bentuk $R\cos(2x+a)$ dengan langkah-langkah berikut:

1. Gunakan identitas trigonometri:
   - $\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x = 2\cos^2x - 1 = 1 - 2\sin^2x$
   - $\sin(2x) = 2\sin x\cos x$

2. Ubah persamaan:
   $\sin^2x+2\sin x\cos x-\cos^2x = (2\sin x\cos x) - (\cos^2x - \sin^2x)$
   Mengganti dengan identitas:
   $= \sin(2x) - \cos(2x)$

3. Ubah ke bentuk $R\cos(2x+a)$:
   Bentuk $A\sin y + B\cos y$ dapat diubah menjadi $R\cos(y-a)$ atau $R\sin(y+a)$.
   Bentuk $A\cos y + B\sin y$ dapat diubah menjadi $R\cos(y-a)$ atau $R\sin(y+a)$.
   Kita punya $-\cos(2x) + \sin(2x)$. Ini sesuai dengan bentuk $B\sin y + A\cos y$ dengan $y=2x$, $B=1$, $A=-1$.
   Bentuk ini dapat diubah menjadi $R\sin(y+a)$ atau $R\cos(y-a)$.
   Mari kita ubah ke bentuk $R\cos(2x+a)$.
   Kita tahu bahwa $R\cos(2x+a) = R(\cos 2x \cos a - \sin 2x \sin a)$.
   Kita memiliki $-\cos(2x) + \sin(2x)$.
   Untuk mencocokkan bentuk $R\cos(2x+a)$, kita perlu bentuk $-\cos(2x)$ dan $\sin(2x)$.
   Koefisien $\cos(2x)$ adalah $-1$. Koefisien $\sin(2x)$ adalah $1$.
   Jadi, $R\cos a = -1$ dan $-R\sin a = 1$ (atau $R\sin a = -1$).

   Kuadratkan dan jumlahkan:
   $(R\cos a)^2 + (R\sin a)^2 = (-1)^2 + (-1)^2$
   $R^2(\cos^2 a + \sin^2 a) = 1 + 1$
   $R^2(1) = 2$
   $R = \sqrt{2}$ (karena R biasanya positif)

   Cari a:
   $\cos a = -1/\sqrt{2}$
   $\sin a = -1/\sqrt{2}$
   Kedua nilai negatif, sehingga sudut a berada di kuadran III.
   Nilai a yang memenuhi adalah $a = 225^{\circ}$ atau $5\pi/4$ radian.

   Jadi, bentuknya adalah $\sqrt{2}\cos(2x+225^{\circ})$ atau $\sqrt{2}\cos(2x+5\pi/4)$.

   Alternatif lain, kita bisa mengubah $\sin(2x) - \cos(2x)$ ke bentuk $R\sin(2x+a)$ atau $R\cos(2x-a)$.
   Mengubah ke bentuk $R\cos(2x-a) = R(\cos 2x \cos a + \sin 2x \sin a)$.
   Kita punya $-\cos(2x) + \sin(2x)$.
   $R\cos a = -1$
   $R\sin a = 1$
   $R = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
   $\cos a = -1/\sqrt{2}$
   $\sin a = 1/\sqrt{2}$
   Ini berarti a berada di kuadran II, sehingga $a=135^{\circ}$ atau $3\pi/4$ radian.
   Maka bentuknya adalah $\sqrt{2}\cos(2x-135^{\circ})$ atau $\sqrt{2}\cos(2x-3\pi/4)$.

   Karena soal meminta bentuk $R\cos(2x+a)$, kita gunakan hasil pertama.
   $\sin^2x+2\sin x\cos x-\cos^2x = \sqrt{2}\cos(2x+225^{\circ})$