Kelas 11Kelas 12mathTrigonometri
Nyatakan bentuk sin^2x+2sin xcos x-cos^2x ke bentuk
Pertanyaan
Nyatakan bentuk $\sin^2x+2\sin x\cos x-\cos^2x$ ke bentuk $R\cos(2x+a)$.
Solusi
Verified
$\sqrt{2}\cos(2x+225^{\circ})$
Pembahasan
Bentuk $\sin^2x+2\sin x\cos x-\cos^2x$ dapat diubah ke bentuk $R\cos(2x+a)$ dengan langkah-langkah berikut: 1. Gunakan identitas trigonometri: - $\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x = 2\cos^2x - 1 = 1 - 2\sin^2x$ - $\sin(2x) = 2\sin x\cos x$ 2. Ubah persamaan: $\sin^2x+2\sin x\cos x-\cos^2x = (2\sin x\cos x) - (\cos^2x - \sin^2x)$ Mengganti dengan identitas: $= \sin(2x) - \cos(2x)$ 3. Ubah ke bentuk $R\cos(2x+a)$: Bentuk $A\sin y + B\cos y$ dapat diubah menjadi $R\cos(y-a)$ atau $R\sin(y+a)$. Bentuk $A\cos y + B\sin y$ dapat diubah menjadi $R\cos(y-a)$ atau $R\sin(y+a)$. Kita punya $-\cos(2x) + \sin(2x)$. Ini sesuai dengan bentuk $B\sin y + A\cos y$ dengan $y=2x$, $B=1$, $A=-1$. Bentuk ini dapat diubah menjadi $R\sin(y+a)$ atau $R\cos(y-a)$. Mari kita ubah ke bentuk $R\cos(2x+a)$. Kita tahu bahwa $R\cos(2x+a) = R(\cos 2x \cos a - \sin 2x \sin a)$. Kita memiliki $-\cos(2x) + \sin(2x)$. Untuk mencocokkan bentuk $R\cos(2x+a)$, kita perlu bentuk $-\cos(2x)$ dan $\sin(2x)$. Koefisien $\cos(2x)$ adalah $-1$. Koefisien $\sin(2x)$ adalah $1$. Jadi, $R\cos a = -1$ dan $-R\sin a = 1$ (atau $R\sin a = -1$). Kuadratkan dan jumlahkan: $(R\cos a)^2 + (R\sin a)^2 = (-1)^2 + (-1)^2$ $R^2(\cos^2 a + \sin^2 a) = 1 + 1$ $R^2(1) = 2$ $R = \sqrt{2}$ (karena R biasanya positif) Cari a: $\cos a = -1/\sqrt{2}$ $\sin a = -1/\sqrt{2}$ Kedua nilai negatif, sehingga sudut a berada di kuadran III. Nilai a yang memenuhi adalah $a = 225^{\circ}$ atau $5\pi/4$ radian. Jadi, bentuknya adalah $\sqrt{2}\cos(2x+225^{\circ})$ atau $\sqrt{2}\cos(2x+5\pi/4)$. Alternatif lain, kita bisa mengubah $\sin(2x) - \cos(2x)$ ke bentuk $R\sin(2x+a)$ atau $R\cos(2x-a)$. Mengubah ke bentuk $R\cos(2x-a) = R(\cos 2x \cos a + \sin 2x \sin a)$. Kita punya $-\cos(2x) + \sin(2x)$. $R\cos a = -1$ $R\sin a = 1$ $R = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ $\cos a = -1/\sqrt{2}$ $\sin a = 1/\sqrt{2}$ Ini berarti a berada di kuadran II, sehingga $a=135^{\circ}$ atau $3\pi/4$ radian. Maka bentuknya adalah $\sqrt{2}\cos(2x-135^{\circ})$ atau $\sqrt{2}\cos(2x-3\pi/4)$. Karena soal meminta bentuk $R\cos(2x+a)$, kita gunakan hasil pertama. $\sin^2x+2\sin x\cos x-\cos^2x = \sqrt{2}\cos(2x+225^{\circ})$
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Identitas Trigonometri
Section: Bentuk R Cos X A
Apakah jawaban ini membantu?