Nyatakan masing-masing ekspresi limit di bawah ini dalam

a. 5f'(a) b. af'(a) - f(a)

Pembahasan

a. Untuk menyatakan limit $(f(a+3h)-f(a-2h))/h$ sebagai $f'(a)$, kita dapat memanipulasi ekspresi tersebut agar sesuai dengan definisi turunan. Definisi turunan $f'(a)$ adalah $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Kita bisa menulis ulang ekspresi tersebut sebagai berikut:

$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a-2h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a) - (f(a-2h)-f(a))}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a)}{h} - \lim_{h \to 0} \frac{f(a-2h)-f(a)}{h}$

Sekarang, kita dapat membuat substitusi dalam limit kedua. Misalkan $k = -2h$. Maka, ketika $h \to 0$, $k \to 0$. Juga, $h = k/(-2)$.

$= \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a)}{h} - \lim_{k \to 0} \frac{f(a+k)-f(a)}{k/(-2)}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a)}{h} + 2\lim_{k \to 0} \frac{f(a+k)-f(a)}{k}$

Untuk menyelesaikan ini, kita bisa membuat substitusi lain. Misalkan $j=3h$. Maka ketika $h \to 0$, $j \to 0$. Juga $h=j/3$.

$= \lim_{j \to 0} \frac{f(a+j)-f(a)}{j/3} + 2\lim_{k \to 0} \frac{f(a+k)-f(a)}{k}$

$= 3\lim_{j \to 0} \frac{f(a+j)-f(a)}{j} + 2\lim_{k \to 0} \frac{f(a+k)-f(a)}{k}$

Karena kedua limit tersebut adalah definisi dari $f'(a)$, kita dapat menyatakannya sebagai:

$= 3f'(a) + 2f'(a) = 5f'(a)$

b. Untuk menyatakan limit $(af(x)-xf(a))/(x-a)$ sebagai $f'(a)$, kita dapat memanipulasi ekspresi tersebut seperti berikut:

$\lim_{x \to a} \frac{af(x)-xf(a)}{x-a} = \lim_{x \to a} \frac{af(x)-af(a) - xf(a) + af(a)}{x-a}$

$= \lim_{x \to a} \frac{a(f(x)-f(a)) - (xf(a)-af(a))}{x-a}$

$= \lim_{x \to a} \frac{a(f(x)-f(a)) - a(x-a)f(a)/a}{(x-a)}$

$= \lim_{x \to a} \frac{a(f(x)-f(a)) - xf(a) + af(a)}{x-a}$

Kita bisa menambahkan dan mengurangi $af(a)$ di pembilang:

$= \lim_{x \to a} \frac{af(x) - af(a) + af(a) - xf(a)}{x-a}$

$= \lim_{x \to a} \frac{a(f(x)-f(a)) - (xf(a) - af(a))}{x-a}$

$= \lim_{x \to a} \frac{a(f(x)-f(a))}{x-a} - \lim_{x \to a} \frac{xf(a) - af(a)}{x-a}$

$= a\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} - \lim_{x \to a} \frac{f(a)(x-a)}{x-a}$

$= af'(a) - f(a)$

Jadi, ekspresi limitnya adalah $5f'(a)$ untuk bagian a, dan $af'(a) - f(a)$ untuk bagian b.