Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang masing-masing

Luas segitiga ICJ adalah $2\sqrt{21}$.

Pembahasan

Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 4. Titik I berada di tengah AB, sehingga AI = IB = 2. Titik J berada di tengah FG, sehingga FJ = JG = 2. Kita perlu mencari luas segitiga ICJ. Untuk mencari luas segitiga, kita bisa menggunakan alas dan tinggi. Mari kita pertimbangkan IC sebagai alas. Panjang IC dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku IBC: $IC^2 = IB^2 + BC^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$, sehingga $IC = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
Selanjutnya, kita perlu mencari tinggi segitiga ICJ dari titik J ke garis IC. Ini agak rumit jika kita langsung menghitungnya. Alternatif lain adalah mencari panjang IJ dan sisi-sisi lain dari segitiga ICJ, atau menggunakan koordinat.

Mari gunakan koordinat. Misalkan B=(0,0,0), A=(0,4,0), C=(4,0,0), G=(4,0,4), F=(4,4,4).
Titik I adalah tengah AB, jadi I = (0, 2, 0).
Titik J adalah tengah FG, jadi J = (4, 4, 2).

Panjang sisi IC: $IC = \sqrt{(4-0)^2 + (0-2)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
Panjang sisi CJ: $CJ = \sqrt{(4-4)^2 + (0-4)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{0+16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
Panjang sisi IJ: $IJ = \sqrt{(4-0)^2 + (4-2)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{16+4+4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

Segitiga ICJ adalah segitiga sama kaki dengan sisi IC = CJ = $2\sqrt{5}$. Untuk mencari luasnya, kita perlu tinggi dari J ke alas IC. Namun, lebih mudah jika kita menggunakan alas IJ. Tinggi segitiga sama kaki dari C ke IJ akan membagi IJ menjadi dua sama panjang. Tapi J bukan di tengah FG, J di tengah FG. Oh, J di tengah FG, berarti FJ=JG=2.

Mari kita ulangi penentuan koordinat:
Misalkan A=(0,0,4), B=(4,0,4), C=(4,4,4), D=(0,4,4)
E=(0,0,0), F=(4,0,0), G=(4,4,0), H=(0,4,0)
Panjang rusuk = 4.
I di tengah AB, maka I = (2,0,4).
J di tengah FG, maka J = (4,2,0).

Panjang sisi IC: $IC = \sqrt{(4-2)^2 + (4-0)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
Panjang sisi CJ: $CJ = \sqrt{(4-4)^2 + (2-4)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
Panjang sisi IJ: $IJ = \sqrt{(4-2)^2 + (2-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4+4+16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

Segitiga ICJ adalah segitiga sama kaki dengan IC = CJ. Luas segitiga sama kaki dapat dicari dengan mencari tingginya. Misalkan K adalah titik tengah IJ. Maka CK adalah tinggi dari C ke IJ. Namun, ini tidak benar karena ICJ adalah segitiga. Kita perlu tinggi dari C ke IJ atau dari J ke IC.

Cara lain adalah menggunakan luas segitiga dengan alas dan tinggi di bidang yang sama. Perhatikan bidang BCGF. Panjang BC=4, CG=4, BF=4, FG=4.
I di tengah AB, J di tengah FG.
Jika kita membuat proyeksi titik I dan J ke bidang BCGF, I akan berada di tengah BC, dan J sudah di tengah FG. Ini tidak membantu.

Kembali ke koordinat:
A=(0,0,4), B=(4,0,4), C=(4,4,4), D=(0,4,4), E=(0,0,0), F=(4,0,0), G=(4,4,0), H=(0,4,0)
I di tengah AB -> I = (2,0,4)
J di tengah FG -> J = (4,2,0)
C = (4,4,4)

IC = $2\sqrt{5}$. CJ = $2\sqrt{5}$. IJ = $2\sqrt{6}$.
Luas segitiga ICJ dapat dihitung menggunakan rumus Heron jika kita tahu semua sisinya. Luas = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ dimana s adalah setengah keliling.
$s = \frac{2\sqrt{5} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{5} + \sqrt{6}$.
$s-a = 2\sqrt{5} + \sqrt{6} - 2\sqrt{5} = \sqrt{6}$.
$s-b = 2\sqrt{5} + \sqrt{6} - 2\sqrt{5} = \sqrt{6}$.
$s-c = 2\sqrt{5} + \sqrt{6} - 2\sqrt{6} = 2\sqrt{5} - \sqrt{6}$.
Luas = $\sqrt{(2\sqrt{5} + \sqrt{6})(\sqrt{6})(\sqrt{6})(2\sqrt{5} - \sqrt{6})}$
Luas = $\sqrt{(2\sqrt{5} + \sqrt{6})(2\sqrt{5} - \sqrt{6}) \times 6}$
Luas = $\sqrt{((2\sqrt{5})^2 - (\sqrt{6})^2) \times 6}$
Luas = $\sqrt{(20 - 6) \times 6}$
Luas = $\sqrt{14 \times 6}$
Luas = $\sqrt{84}$
Luas = $\sqrt{4 \times 21}$
Luas = $2\sqrt{21}$.

Mari cek dengan cara lain. Tinggi dari C ke IJ. Proyeksi C ke bidang EFGH adalah C itu sendiri.

Coba gunakan bidang yang berbeda untuk koordinat.
Misalkan A=(0,0,0), B=(4,0,0), C=(4,4,0), D=(0,4,0), E=(0,0,4), F=(4,0,4), G=(4,4,4), H=(0,4,4).
Panjang rusuk = 4.
I di tengah AB, maka I = (2,0,0).
J di tengah FG, maka J = (4,2,4).
C = (4,4,0).

IC = $\sqrt{(4-2)^2 + (4-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
CJ = $\sqrt{(4-4)^2 + (2-4)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
IJ = $\sqrt{(4-2)^2 + (2-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{4+4+16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
Hasil sisi-sisinya sama, sehingga luasnya juga akan sama, yaitu $2\sqrt{21}$.