Pada gambar berikut, AB dan AC merupakan garis singgung

a. Panjang jari-jari OB adalah 27 cm. b. Panjang tali busur BC adalah 43.2 cm.

Pembahasan

Diketahui:
AB dan AC adalah garis singgung lingkaran dengan pusat O.
Panjang AB = 36 cm
Panjang OA = 45 cm

a. Menghitung panjang jari-jari OB:

Karena AB adalah garis singgung lingkaran, maka AB tegak lurus dengan jari-jari OB di titik singgung B. Ini berarti segitiga OBA adalah segitiga siku-siku di B.

Menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga OBA:
OA^2 = OB^2 + AB^2
45^2 = OB^2 + 36^2
2025 = OB^2 + 1296
OB^2 = 2025 - 1296
OB^2 = 729
OB = \sqrt{729}
OB = 27 cm

Jadi, panjang jari-jari OB adalah 27 cm.

b. Menghitung panjang tali busur BC:

Untuk menghitung panjang tali busur BC, kita perlu menggunakan informasi dari segitiga OAC dan OBC. Karena AC juga merupakan garis singgung, maka segitiga OAC juga siku-siku di C, dan OC adalah jari-jari lingkaran, sehingga OC = OB = 27 cm.

Perhatikan segitiga OAB dan OAC. Kedua segitiga ini kongruen karena:
- OA = OA (sisi bersama)
- OB = OC (jari-jari lingkaran)
- AB = AC (garis singgung dari titik yang sama ke lingkaran)
Ini memenuhi syarat SSS (Sisi, Sisi, Sisi).

Akibatnya, sudut ∠AOB = ∠AOC.

Sekarang kita fokus pada segitiga OAB. Kita memiliki sisi OA = 45, OB = 27, dan AB = 36. Kita bisa mencari nilai kosinus sudut ∠AOB menggunakan aturan kosinus atau dengan menggunakan perbandingan trigonometri dalam segitiga siku-siku OBA.

Dalam segitiga siku-siku OBA:
cos(∠AOB) = OB / OA = 27 / 45 = 3/5

Karena segitiga OAB dan OAC kongruen, maka sudut ∠AOB = ∠AOC. Segitiga OBC adalah segitiga sama kaki dengan OB = OC = 27 cm.

Untuk mencari panjang BC, kita bisa gunakan aturan kosinus pada segitiga OBC:
BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 * OB * OC * cos(∠BOC)

Kita tahu bahwa sudut ∠BAC + ∠BOC = 180 derajat jika OABC adalah layang-layang (yang benar dalam kasus ini karena OA adalah sumbu simetri). Namun, lebih mudah jika kita mencari sudut ∠BOC.

Sudut ∠BOC = ∠BOA + ∠COA = 2 * ∠BOA.
Kita sudah punya cos(∠AOB) = 3/5. Kita perlu nilai cos(∠BOC) = cos(2 * ∠AOB).

Menggunakan identitas kosinus sudut ganda: cos(2θ) = 2cos^2(θ) - 1
cos(∠BOC) = 2 * (cos(∠AOB))^2 - 1
cos(∠BOC) = 2 * (3/5)^2 - 1
cos(∠BOC) = 2 * (9/25) - 1
cos(∠BOC) = 18/25 - 1
cos(∠BOC) = 18/25 - 25/25
cos(∠BOC) = -7/25

Sekarang masukkan nilai ini ke dalam aturan kosinus untuk BC:
BC^2 = 27^2 + 27^2 - 2 * 27 * 27 * (-7/25)
BC^2 = 729 + 729 - 2 * 729 * (-7/25)
BC^2 = 1458 + 1458 * (7/25)
BC^2 = 1458 * (1 + 7/25)
BC^2 = 1458 * (25/25 + 7/25)
BC^2 = 1458 * (32/25)
BC^2 = (1458 * 32) / 25
BC^2 = 46656 / 25
BC = \sqrt{46656 / 25}
BC = \sqrt{46656} / \sqrt{25}
BC = 216 / 5
BC = 43.2 cm

Jadi, panjang tali busur BC adalah 43.2 cm.