Pada gambar berikut, garis AB adalah diameter dan luas

Besar sudut BOC adalah 80°.

Pembahasan

Untuk menentukan besar sudut BOC, kita perlu menggunakan informasi yang diberikan mengenai luas daerah arsiran dan luas juring OBC.

Diketahui:
- Garis AB adalah diameter lingkaran.
- Luas daerah arsiran = 22,5 cm²
- Luas juring OBC = 10 cm²

Misalkan O adalah pusat lingkaran, R adalah jari-jari lingkaran, dan θ adalah besar sudut BOC dalam radian.

Luas daerah arsiran dapat dihitung sebagai luas setengah lingkaran dikurangi luas juring OBC (jika daerah arsiran berada di luar juring OBC) atau sebaliknya, tergantung pada gambar yang tidak disertakan. Namun, dari konteks soal yang umum, daerah arsiran seringkali merujuk pada luas tembereng atau bagian lain dari lingkaran.

Kita akan fokus pada hubungan antara luas juring dan sudut pusatnya.

Rumus luas juring adalah: Luas Juring = (θ / 2π) * πR² = (θ/2) * R² (jika θ dalam radian)
Atau, Luas Juring = (sudut pusat / 360°) * πR² (jika sudut pusat dalam derajat)

Kita diberikan Luas Juring OBC = 10 cm².
Jadi, 10 = (sudut BOC / 360°) * πR².

Sekarang mari kita pertimbangkan luas daerah arsiran. Jika diasumsikan daerah arsiran adalah setengah lingkaran dikurangi luas segitiga OBC (yang mana luas juring OBC merupakan bagian dari luas segitiga jika sudutnya lancip), atau jika daerah arsiran adalah bagian lain, kita perlu hubungan antara luas arsiran dan sudut BOC.

Namun, ada cara yang lebih langsung jika kita melihat rasio luas.
Jika Luas Juring OBC = 10 cm², dan kita tahu rumus luas juring adalah proporsional terhadap sudut pusatnya, kita perlu mencari tahu bagaimana luas arsiran 22,5 cm² berhubungan.

Mari kita asumsikan gambar tersebut menunjukkan bahwa daerah arsiran adalah setengah lingkaran yang luasnya adalah Luas Juring OBC ditambah luas daerah lain di setengah lingkaran tersebut.

Jika kita menganggap Luas Juring OBC = 10 cm², dan AB adalah diameter, maka sudut AOC adalah sudut lurus (180°).

Jika kita menggunakan hubungan proporsionalitas:
Luas Juring / Sudut Pusat = Konstan (yaitu, πR²/360° atau R²/2)

Kita memiliki satu luas juring (OBC) dan luas daerah arsiran. Tanpa gambar yang jelas, sulit untuk menghubungkan kedua luas ini secara langsung ke sudut BOC.

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa 'daerah arsiran' merujuk pada Luas Setengah Lingkaran - Luas Juring OBC, atau Luas Setengah Lingkaran - Luas Segitiga OBC, kita masih memerlukan Luas Setengah Lingkaran.

Mari kita coba pendekatan lain: Jika Luas Juring OBC = 10 cm², ini berarti bagian dari lingkaran yang dibentuk oleh sudut BOC memiliki luas tersebut.

Ada kemungkinan soal ini memiliki informasi yang kurang atau mengandalkan interpretasi visual dari gambar.

Namun, jika kita menganggap bahwa luas daerah arsiran 22,5 cm² adalah luas *selain* dari juring OBC di dalam setengah lingkaran, maka luas setengah lingkaran adalah 10 + 22.5 = 32.5 cm². Maka luas lingkaran adalah 65 cm². Luas lingkaran = πR². Maka R² = 65/π.

Dengan Luas Juring OBC = 10 cm², kita punya:
10 = (Sudut BOC / 360°) * πR²
10 = (Sudut BOC / 360°) * 65
Sudut BOC / 360° = 10 / 65 = 2 / 13
Sudut BOC = (2 / 13) * 360° = 720° / 13 ≈ 55.38°.

Namun, jika daerah arsiran adalah tembereng yang dibentuk oleh tali busur BC, maka Luas Tembereng = Luas Juring OBC - Luas Segitiga OBC.
Kita perlu luas segitiga OBC. Luas Segitiga OBC = (1/2) * R * R * sin(sudut BOC) = (1/2)R² sin(sudut BOC).

Mari kita periksa kemungkinan lain: Jika luas daerah arsiran adalah luas setengah lingkaran, dan luas juring OBC adalah 10 cm², ini tidak masuk akal karena juring OBC bukan setengah lingkaran.

Asumsi yang paling masuk akal berdasarkan struktur soal matematika semacam ini adalah bahwa ada hubungan langsung antara luas juring dan luas arsiran yang diberikan. Mungkin daerah arsiran adalah sebuah sektor lain atau bagian dari lingkaran yang informasinya terlewat.

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa 22.5 cm² adalah Luas Segitiga OBC, maka:
Luas Juring OBC = 10 cm²
Luas Segitiga OBC = 22,5 cm²
Ini tidak mungkin karena luas juring OBC harus lebih besar atau sama dengan luas segitiga OBC yang dibentuk oleh dua jari-jari dan tali busur yang sama.

Mari kita perbaiki asumsi berdasarkan informasi yang ada. Jika Luas Juring OBC = 10 cm², dan kita tahu bahwa luas juring berbanding lurus dengan sudut pusatnya.
Ada kemungkinan besar bahwa soal ini dimaksudkan untuk memberikan perbandingan:
Jika sudut tertentu menghasilkan luas tertentu, berapa sudut untuk luas lain.

Kemungkinan lain: Luas daerah arsiran adalah luas SETENGAH LINGKARAN. Karena AB adalah diameter, maka luas setengah lingkaran adalah (1/2) * πR².
Jika Luas Setengah Lingkaran = 22,5 cm².
Maka Luas Lingkaran = 45 cm².
Luas Lingkaran = πR² => R² = 45/π.

Sekarang, gunakan Luas Juring OBC = 10 cm²:
10 = (Sudut BOC / 360°) * πR²
10 = (Sudut BOC / 360°) * 45
Sudut BOC / 360° = 10 / 45 = 2 / 9
Sudut BOC = (2 / 9) * 360°
Sudut BOC = 2 * 40°
Sudut BOC = 80°.

Mari kita periksa konsistensi. Jika Sudut BOC = 80°, maka Luas Juring OBC = (80/360) * πR² = (2/9) * 45 = 10 cm². Ini konsisten.
Jika Luas Setengah Lingkaran = 22,5 cm², maka Luas Lingkaran = 45 cm². Ini juga konsisten.

Jadi, besar sudut BOC adalah 80°.