Untuk x dan y merupakan bilangan bulat, nilai minimum dari

-13

Pembahasan

Untuk mencari nilai minimum dari 2y - 3x yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear dua variabel (SPtLDV), kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian SPtLDV tersebut. SPtLDV yang diberikan adalah:
1. $3y - x \le 5$
2. $y + 2x \le 11$
3. $x + 4y \ge 9$

Kita perlu mencari titik potong dari garis-garis yang membentuk batas daerah penyelesaian:

a. Titik potong antara $3y - x = 5$ dan $y + 2x = 11$:
Dari persamaan pertama, $x = 3y - 5$. Substitusikan ke persamaan kedua:
$y + 2(3y - 5) = 11$
$y + 6y - 10 = 11$
$7y = 21$
$y = 3$
Substitusikan $y=3$ ke $x = 3y - 5$:
$x = 3(3) - 5 = 9 - 5 = 4$.
Titik potongnya adalah (4, 3).

b. Titik potong antara $3y - x = 5$ dan $x + 4y = 9$:
Dari persamaan pertama, $x = 3y - 5$. Substitusikan ke persamaan ketiga:
$(3y - 5) + 4y = 9$
$7y - 5 = 9$
$7y = 14$
$y = 2$
Substitusikan $y=2$ ke $x = 3y - 5$:
$x = 3(2) - 5 = 6 - 5 = 1$.
Titik potongnya adalah (1, 2).

c. Titik potong antara $y + 2x = 11$ dan $x + 4y = 9$:
Dari persamaan kedua, $x = 9 - 4y$. Substitusikan ke persamaan pertama:
$y + 2(9 - 4y) = 11$
$y + 18 - 8y = 11$
$-7y = 11 - 18$
$-7y = -7$
$y = 1$
Substitusikan $y=1$ ke $x = 9 - 4y$:
$x = 9 - 4(1) = 9 - 4 = 5$.
Titik potongnya adalah (5, 1).

Sekarang kita substitusikan titik-titik pojok (1, 2), (5, 1), dan (4, 3) ke dalam fungsi objektif $f(x, y) = 2y - 3x$:

- Untuk (1, 2): $f(1, 2) = 2(2) - 3(1) = 4 - 3 = 1$
- Untuk (5, 1): $f(5, 1) = 2(1) - 3(5) = 2 - 15 = -13$
- Untuk (4, 3): $f(4, 3) = 2(3) - 3(4) = 6 - 12 = -6$

Nilai minimum dari $2y - 3x$ adalah -13.