Pada gambar berikut, MP dan MQ adalah garis singgung

Panjang tali busur PQ adalah 57.6 cm.

Pembahasan

Diketahui lingkaran dengan pusat O. MP dan MQ adalah garis singgung lingkaran. Panjang OM = 60 cm dan PM = 48 cm. Kita perlu mencari panjang tali busur PQ.

Karena MP adalah garis singgung, maka sudut OPM adalah sudut siku-siku (90 derajat).
Segitiga OPM adalah segitiga siku-siku di P.
Kita bisa menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga OPM:
OP^2 + PM^2 = OM^2
OP^2 + (48)^2 = (60)^2
OP^2 + 2304 = 3600
OP^2 = 3600 - 2304
OP^2 = 1296
OP = √1296
OP = 36 cm.

OP adalah jari-jari lingkaran. Karena MQ juga garis singgung, maka OQ juga merupakan jari-jari lingkaran, sehingga OQ = 36 cm.

Perhatikan segitiga OMQ. Segitiga ini juga siku-siku di Q. OQ = 36 cm dan OM = 60 cm.
Kita bisa mencari panjang MQ menggunakan teorema Pythagoras:
OQ^2 + MQ^2 = OM^2
(36)^2 + MQ^2 = (60)^2
1296 + MQ^2 = 3600
MQ^2 = 3600 - 1296
MQ^2 = 2304
MQ = √2304
MQ = 48 cm.

Sekarang kita perhatikan segitiga OMP dan segitiga OMQ. Keduanya adalah segitiga siku-siku dengan sisi miring yang sama (OM) dan satu sisi tegak yang sama (OP = OQ = jari-jari).

Segitiga OPQ adalah segitiga sama kaki karena OP = OQ = 36 cm.
Kita perlu mencari panjang PQ. Kita bisa menggunakan luas segitiga OMP dan OMQ.
Luas segitiga OMP = (1/2) * alas * tinggi = (1/2) * OP * PM = (1/2) * 36 * 48 = 18 * 48 = 864 cm^2.

Dalam segitiga sama kaki OPQ, kita bisa menarik garis dari O ke PQ yang tegak lurus PQ, sebut saja titik potongnya adalah T. Garis OT akan membagi PQ menjadi dua sama panjang, yaitu PT = TQ.

Perhatikan segitiga OMP. Kita bisa mencari sinus dan kosinus sudut MOP:
cos(∠MOP) = OP / OM = 36 / 60 = 3/5
sin(∠MOP) = PM / OM = 48 / 60 = 4/5.

Karena MP dan MQ adalah garis singgung dari titik M ke lingkaran, maka garis OM membagi sudut PMQ menjadi dua sama besar, dan juga membagi sudut POQ menjadi dua sama besar. Jadi, ∠POM = ∠QOM.

Dalam segitiga OPQ, kita bisa menggunakan aturan kosinus atau mencari tinggi OT.
Pada segitiga OMP, kita dapat menghitung luasnya dengan cara lain: Luas OMP = (1/2) * OM * tinggi dari P ke OM. Atau kita bisa mencari luas segitiga OPQ dengan menggunakan hubungan antara luas OMP dan luas OPQ.

Alternatifnya, kita bisa menghitung luas segitiga OMQ. Luas OMQ = (1/2) * OQ * MQ = (1/2) * 36 * 48 = 864 cm^2.

Luas segi empat OPMQ = Luas OMP + Luas OMQ = 864 + 864 = 1728 cm^2.

Luas segi empat OPMQ juga dapat dihitung sebagai 2 * Luas segitiga OPQ jika segitiga OPQ dan OMQ memiliki alas dan tinggi yang sama, yang tidak demikian.

Kita tahu bahwa luas segi empat OPMQ adalah jumlah luas segitiga OPQ dan segitiga PMQ.

Mari kita gunakan segitiga OPQ. OP = OQ = 36 cm. Kita perlu mencari sudut POQ.
Kita tahu cos(∠POM) = 3/5. Maka ∠POM = arccos(3/5).
∠POQ = 2 * ∠POM = 2 * arccos(3/5).

Kita bisa mencari cos(∠POQ) menggunakan identitas cos(2θ) = 2cos^2(θ) - 1.
cos(∠POQ) = 2 * (3/5)^2 - 1 = 2 * (9/25) - 1 = 18/25 - 1 = 18/25 - 25/25 = -7/25.

Sekarang gunakan aturan kosinus pada segitiga OPQ untuk mencari PQ:
PQ^2 = OP^2 + OQ^2 - 2 * OP * OQ * cos(∠POQ)
PQ^2 = (36)^2 + (36)^2 - 2 * 36 * 36 * (-7/25)
PQ^2 = 1296 + 1296 - 2 * 1296 * (-7/25)
PQ^2 = 2592 + 2592 * (7/25)
PQ^2 = 2592 * (1 + 7/25)
PQ^2 = 2592 * (32/25)
PQ^2 = (2592 * 32) / 25
PQ^2 = 82944 / 25
PQ = √(82944 / 25) = √82944 / √25 = 288 / 5 = 57.6 cm.

Cara lain: Cari tinggi OT pada segitiga OPQ. Luas OMP = 864. Luas OMP = (1/2) * OM * tinggi dari P ke OM. Misalkan tinggi dari P ke OM adalah h_P.
864 = (1/2) * 60 * h_P
864 = 30 * h_P
h_P = 864 / 30 = 28.8 cm.

Pada segitiga siku-siku OPQ, kita bisa mencari panjang PQ. Jika kita tahu sudut POQ. 

Cara yang lebih mudah: gunakan kesamaan segitiga. Segitiga OMP siku-siku di P. Segitiga OPQ sama kaki. OQ = OP = 36. OM = 60. PM = 48.

Perhatikan segitiga OMP dan segitiga OQP. Kita bisa gunakan kesamaan segitiga atau sifat-sifatnya.
Dalam segitiga OMQ, OQ=36, MQ=48, OM=60. Perhatikan rasio sisi: 36:48:60 = 3:4:5 (setelah dibagi 12). Ini adalah segitiga siku-siku.

Pada segitiga OPQ, kita tahu OP = OQ = 36. Kita perlu mencari PQ. Kita bisa mencari tinggi dari O ke PQ, sebut saja OT. Segitiga OTP adalah segitiga siku-siku.

Kita tahu luas OMP = 864. Luas OMQ = 864.
Dalam segitiga OPQ, gunakan luas. Kita perlu tinggi dari O ke PQ.

Perhatikan segitiga OMP dan segitiga PMQ. PM = 48, MQ = 48. Segitiga PMQ sama kaki.

Cara paling sederhana: Gunakan kesamaan luas atau trigonometri pada segitiga yang relevan.
Dalam segitiga OMP, kita punya OP = 36, PM = 48, OM = 60. Kita dapat menghitung sinus dan kosinus sudut ∠POM.
cos(∠POM) = OP/OM = 36/60 = 3/5
sin(∠POM) = PM/OM = 48/60 = 4/5.

Karena ∠POQ = 2 * ∠POM, kita dapat mencari sin(∠POQ) dan cos(∠POQ).
sin(∠POQ) = sin(2 * ∠POM) = 2 * sin(∠POM) * cos(∠POM) = 2 * (4/5) * (3/5) = 24/25.

Sekarang kita cari panjang PQ menggunakan luas segitiga OPQ. Kita tahu OP=OQ=36.
Luas segitiga OPQ = (1/2) * OP * OQ * sin(∠POQ)
Luas segitiga OPQ = (1/2) * 36 * 36 * (24/25)
Luas segitiga OPQ = 18 * 36 * (24/25)
Luas segitiga OPQ = 648 * (24/25) = 15552 / 25.

Kita juga bisa menghitung luas segitiga OPQ sebagai (1/2) * PQ * OT, di mana OT adalah tinggi dari O ke PQ.

Cara yang lebih langsung:
Dalam segitiga siku-siku OMP, kita memiliki OP = 36 dan OM = 60. Kita mencari tinggi dari P ke OM, sebut saja PT. Dalam segitiga siku-siku OMP, luasnya adalah (1/2) * OP * PM = (1/2) * 36 * 48 = 864.
Luas OMP juga dapat ditulis sebagai (1/2) * OM * PT.
864 = (1/2) * 60 * PT
864 = 30 * PT
PT = 864 / 30 = 28.8 cm.

Karena OM membagi sudut POQ sama besar, dan segitiga OPQ sama kaki, maka OM tegak lurus PQ di titik tengah PQ. Jadi, PT = TQ = PQ/2.
Karena segitiga OMP siku-siku di P, maka OP adalah jari-jari, OP=36.
Kita sudah menghitung PT = 28.8 cm. Namun, PT ini adalah proyeksi P pada OM, bukan tinggi dari P ke OM.

Mari kita kembali ke segitiga OPQ yang sama kaki dengan OP=OQ=36.
Kita perlu mencari PQ.
Kita tahu ∠POQ = 2 * ∠POM.
Dari segitiga OMP, cos(∠POM) = 36/60 = 3/5.
Kita perlu mencari panjang PQ. Kita bisa menggunakan proyeksi.
Dalam segitiga OMP, kita bisa proyeksikan P ke OM. Misalkan proyeksi P pada OM adalah T. Maka PT adalah tinggi dari P ke OM.

Consider the isosceles triangle OPQ. Let the angle ∠POQ = 2θ. Then cos(θ) = 3/5.
We need to find the length of the base PQ. The altitude from O to PQ bisects ∠POQ and PQ.
Let T be the midpoint of PQ. Then triangle OTP is a right-angled triangle with hypotenuse OP=36 and angle ∠POT = θ.
In triangle OTP, PT = OP * sin(θ).
We know cos(θ) = 3/5. Using sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1,
sin^2(θ) + (3/5)^2 = 1
sin^2(θ) + 9/25 = 1
sin^2(θ) = 1 - 9/25 = 16/25
sin(θ) = 4/5 (since θ is an acute angle).

So, PT = 36 * (4/5) = 144/5 = 28.8 cm.

Since T is the midpoint of PQ, PQ = 2 * PT.
PQ = 2 * 28.8 = 57.6 cm.

Jadi, panjang tali busur PQ adalah 57.6 cm.