Tentukan persamaan bayangan garis y=2x+1 oleh rotasi 45

3x + y + akar(2) = 0

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan bayangan garis y = 2x + 1 oleh rotasi 45 derajat dengan pusat O(0,0), kita gunakan matriks rotasi.

Jika titik (x, y) dirotasi sebesar \(\theta\) dengan pusat O(0,0), maka bayangannya (x', y') diberikan oleh:
x' = x cos \(\theta\) - y sin \(\theta\)
y' = x sin \(\theta\) + y cos \(\theta\)

Dalam kasus ini, \(\theta = 45\) derajat. Kita tahu bahwa cos(45) = sin(45) = 1/akar(2) = akar(2)/2.
Jadi, kita punya:
x' = x (akar(2)/2) - y (akar(2)/2)
y' = x (akar(2)/2) + y (akar(2)/2)

Kita perlu mengekspresikan x dan y dalam bentuk x' dan y'. Dari persamaan di atas, kita dapatkan:

x' = (akar(2)/2) (x - y)  =>  2x'/akar(2) = x - y  =>  akar(2)x' = x - y  (Persamaan 1)
y' = (akar(2)/2) (x + y)  =>  2y'/akar(2) = x + y  =>  akar(2)y' = x + y  (Persamaan 2)

Jumlahkan Persamaan 1 dan Persamaan 2:
(akar(2)x') + (akar(2)y') = (x - y) + (x + y)
'sqrt(2)(x' + y') = 2x
x = (sqrt(2)/2)(x' + y')

Kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2:
(akar(2)y') - (akar(2)x') = (x + y) - (x - y)
'sqrt(2)(y' - x') = 2y
y = (sqrt(2)/2)(y' - x')

Sekarang, substitusikan nilai x dan y ke dalam persamaan garis awal y = 2x + 1:
(akar(2)/2)(y' - x') = 2 * [(akar(2)/2)(x' + y')] + 1
(akar(2)/2)(y' - x') = akar(2)(x' + y') + 1

Kalikan kedua sisi dengan 2/akar(2):
y' - x' = 2(x' + y') + 2/akar(2)
y' - x' = 2x' + 2y' + akar(2)

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk mendapatkan persamaan bayangan:
0 = 2x' + x' + 2y' - y' + akar(2)
0 = 3x' + y' + akar(2)

Jadi, persamaan bayangan garis y = 2x + 1 oleh rotasi 45 derajat dengan pusat O(0,0) adalah 3x + y + akar(2) = 0.