Pada gambar berikut, vektor posisi titik A dan B terhadap

a. OC = (31/5)i + (26/5)j + (21/5)k, b. 90 derajat

Pembahasan

a. Untuk mencari titik potong C pada AQ dan PR, kita perlu menentukan vektor posisi AQ dan PR terlebih dahulu. \nDiketahui OA = 3i + 2j + k dan OB = i + 2j + 3k. \nTitik P pada perpanjangan OA sehingga AP = 2OA. Maka OP = OA + AP = OA + 2OA = 3OA = 3(3i + 2j + k) = 9i + 6j + 3k. \nTitik R pada perpanjangan OB sehingga BR = OB. Maka OR = OB + BR = OB + OB = 2OB = 2(i + 2j + 3k) = 2i + 4j + 6k. \nVektor AQ = OQ - OA. Karena OPQR adalah jajargenjang, maka OQ = OP + OR = (9i + 6j + 3k) + (2i + 4j + 6k) = 11i + 10j + 9k. \nMaka AQ = (11i + 10j + 9k) - (3i + 2j + k) = 8i + 8j + 8k. \nVektor AQ sejajar dengan vektor i + j + k karena AQ = 8(i + j + k). \nSekarang kita tentukan vektor OC. Titik C terletak pada AQ, sehingga OC = OA + t(AQ) = (3i + 2j + k) + t(8i + 8j + 8k) = (3+8t)i + (2+8t)j + (1+8t)k. \nTitik C juga terletak pada PR, sehingga OC = OP + s(PR). PR = OR - OP = (2i + 4j + 6k) - (9i + 6j + 3k) = -7i - 2j + 3k. \nOC = (9i + 6j + 3k) + s(-7i - 2j + 3k) = (9-7s)i + (6-2s)j + (3+3s)k. \nMenyamakan komponen-komponen OC: \n3 + 8t = 9 - 7s  => 8t + 7s = 6 \n2 + 8t = 6 - 2s  => 8t + 2s = 4 \nMengurangkan persamaan kedua dari yang pertama: (8t + 7s) - (8t + 2s) = 6 - 4 => 5s = 2 => s = 2/5. \nSubstitusikan s = 2/5 ke 8t + 2s = 4 => 8t + 2(2/5) = 4 => 8t + 4/5 = 4 => 8t = 4 - 4/5 = 16/5 => t = 16/40 = 2/5. \nMaka OC = (3 + 8(2/5))i + (2 + 8(2/5))j + (1 + 8(2/5))k \nOC = (3 + 16/5)i + (2 + 16/5)j + (1 + 16/5)k \nOC = (15/5 + 16/5)i + (10/5 + 16/5)j + (5/5 + 16/5)k \nOC = (31/5)i + (26/5)j + (21/5)k. \n\nb. Besar sudut BAQ. Vektor AB = OB - OA = (i + 2j + 3k) - (3i + 2j + k) = -2i + 0j + 2k. \nVektor AQ = 8i + 8j + 8k. \nRumus sudut antara dua vektor: cos(α) = (AB · AQ) / (|AB| * |AQ|). \nAB · AQ = (-2)(8) + (0)(8) + (2)(8) = -16 + 0 + 16 = 0. \nKarena hasil kali titiknya adalah 0, maka vektor AB tegak lurus dengan vektor AQ. \nJadi, besar sudut BAQ adalah 90 derajat.