Pada jajargenjang ABCD, buktikan bahwa berlaku persamaan:

Gunakan teorema kosinus pada segitiga yang dibentuk oleh sisi dan diagonal jajargenjang, serta sifat sudut berdekatan yang berjumlah 180 derajat.

Pembahasan

Untuk membuktikan persamaan 2(AB^2+BC^2)=AC^2+BD^2 pada jajargenjang ABCD, kita dapat menggunakan sifat-sifat jajargenjang dan teorema Pythagoras.

Misalkan jajargenjang ABCD memiliki panjang sisi AB = CD = a, dan BC = AD = b. Diagonalnya adalah AC dan BD.

Kita dapat memproyeksikan titik D ke perpanjangan AB, misalkan di titik E, sehingga DE tegak lurus AE. 

Dalam segitiga siku-siku ADE, berlaku AD^2 = AE^2 + DE^2. Karena AD = b, maka b^2 = AE^2 + DE^2.

Dalam segitiga siku-siku CDE, berlaku CD^2 = CE^2 + DE^2. Karena CD = a, maka a^2 = CE^2 + DE^2.

Kita tahu bahwa CE = CB + BE. Jika kita menganggap sudut A lancip, maka E berada di luar segmen AB. AE = AB + BE = a + BE. Atau, jika sudut A tumpul, maka AE = AB - BE = a - BE.

Untuk penyederhanaan, mari kita gunakan vektor atau identitas geometris lainnya.

Cara lain adalah menggunakan sifat jajargenjang bahwa diagonal-diagonalnya membagi jajargenjang menjadi dua segitiga kongruen.

Mari kita gunakan teorema kosinus pada segitiga ABC dan segitiga ABD.
Pada segitiga ABC:
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)cos(B)

Pada segitiga ABD:
BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2(AB)(AD)cos(A)

Karena ABCD adalah jajargenjang, maka sudut A + sudut B = 180 derajat. Sehingga cos(A) = cos(180 - B) = -cos(B).
Juga, AD = BC.

Maka,
BD^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)(-cos(B))
BD^2 = AB^2 + BC^2 + 2(AB)(BC)cos(B)

Sekarang kita jumlahkan kedua persamaan:
AC^2 + BD^2 = (AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)cos(B)) + (AB^2 + BC^2 + 2(AB)(BC)cos(B))
AC^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + AB^2 + BC^2
AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + BC^2)

Ini membuktikan persamaan yang diminta.