Pada kubus ABCD EFGH, besar sudut antara AF dan BH adalah

90 derajat

Pembahasan

Untuk menentukan besar sudut antara diagonal ruang AF dan BH pada kubus ABCD EFGH, kita dapat menggunakan vektor atau geometri analitik.

Misalkan panjang rusuk kubus adalah \(s\).
Kita bisa menempatkan kubus dalam sistem koordinat Kartesius:
A = (0, 0, 0)
B = (s, 0, 0)
C = (s, s, 0)
D = (0, s, 0)
E = (0, 0, s)
F = (s, 0, s)
G = (s, s, s)
H = (0, s, s)


Vektor \(\vec{AF}\) dapat direpresentasikan sebagai F - A = (s, 0, s) - (0, 0, 0) = \((s, 0, s)\).

Vektor \(\vec{BH}\) dapat direpresentasikan sebagai H - B = (0, s, s) - (s, 0, 0) = \((-s, s, s)\).

Untuk mencari sudut \(\theta\) antara dua vektor, kita gunakan rumus:
\(\cos(\theta) = \frac{\vec{AF} \cdot \vec{BH}}{|\vec{AF}| |\vec{BH}|}\)

Hitung dot product \(\vec{AF} \cdot \vec{BH}\):
\(\vec{AF} \cdot \vec{BH} = (s)(-s) + (0)(s) + (s)(s) = -s^2 + 0 + s^2 = 0\).

Karena dot product dari kedua vektor adalah 0, ini berarti kedua vektor tersebut ortogonal (tegak lurus).

Oleh karena itu, besar sudut antara AF dan BH adalah 90 derajat.

Cara lain untuk membayangkannya adalah dengan melihat bidang diagonal ACGE dan BDHF. Kedua bidang ini saling tegak lurus. Diagonal AF berada pada bidang ACGE, sedangkan diagonal BH berada pada bidang BDHF. Karena kedua bidang diagonal ini saling tegak lurus, maka diagonal-diagonal yang terletak pada bidang tersebut juga akan membentuk sudut tertentu. Namun, perlu diperhatikan bahwa AF dan BH bukan diagonal yang berpotongan pada satu titik di pusat kubus, melainkan diagonal ruang yang berbeda. Dalam kubus, diagonal ruang yang berpotongan di pusat kubus (misalnya AG dan BH) membentuk sudut 70.53 derajat. Tetapi AF dan BH adalah diagonal ruang yang tidak berpotongan di pusat kubus.

Mari kita periksa kembali orientasi AF dan BH. AF menghubungkan sudut A ke F, dan BH menghubungkan sudut B ke H. Kedua diagonal ini tidak sejajar dan tidak berpotongan. Untuk mencari sudut antara dua garis yang tidak berpotongan, kita bisa menggeser salah satu garis sehingga berpotongan dengan garis lainnya, atau menggunakan proyeksi vektor.

Dengan menggunakan vektor seperti di atas, dot product yang menghasilkan 0 sudah cukup membuktikan bahwa sudutnya 90 derajat. Ini menunjukkan bahwa garis AF tegak lurus terhadap garis BH.