Pada kubus ABCD.EFGH di samping, panjang rusuknya H adalah

Jarak titik A ke garis EB adalah $4\sqrt{2}$ cm.

Pembahasan

Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm, untuk menentukan jarak titik A ke garis EB, kita dapat menggunakan konsep proyeksi titik ke garis dalam ruang.

1.  **Visualisasi Kubus:** Bayangkan kubus ABCD.EFGH. Titik A berada di sudut bawah depan, dan garis EB menghubungkan sudut bawah depan (E) ke sudut atas belakang (B).
2.  **Proyeksi Titik A ke Garis EB:** Jarak titik A ke garis EB adalah panjang garis tegak lurus dari A ke EB. Misalkan titik proyeksi A pada EB adalah P.
3.  **Menggunakan Vektor atau Geometri Analitik:** Kita bisa menggunakan vektor atau sifat-sifat kubus untuk mencari jarak ini.
    *   Misalkan A sebagai titik asal (0,0,0). Maka koordinat titik lain adalah:
        *   B = (8,0,0)
        *   E = (0,8,0)
        *   C = (8,8,0)
        *   D = (0,0,0)
        *   F = (8,0,8)
        *   G = (8,8,8)
        *   H = (0,8,8)
    *   Vektor $\vec{EB}$ = B - E = (8,0,0) - (0,8,0) = (8, -8, 0).
    *   Panjang garis EB = $\sqrt{8^2 + (-8)^2 + 0^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$ cm.
    *   Misalkan P adalah titik pada EB sehingga AP tegak lurus EB. Vektor $\vec{AP}$ = P - A. Karena P pada EB, maka $\vec{EP} = k \vec{EB}$ untuk suatu skalar k.
    *   $\, P = E + k \vec{EB} = (0,8,0) + k(8, -8, 0) = (8k, 8-8k, 0)$.
    *   $\, \vec{AP} = P - A = (8k, 8-8k, 0) - (0,0,0) = (8k, 8-8k, 0)$.
    *   Syarat tegak lurus: $\vec{AP} \cdot \vec{EB} = 0$
        *   $(8k, 8-8k, 0) \cdot (8, -8, 0) = 0$
        *   $64k - 8(8-8k) = 0$
        *   $64k - 64 + 64k = 0$
        *   $128k = 64$
        *   $k = 64/128 = 1/2$.
    *   Maka P = (8*(1/2), 8-8*(1/2), 0) = (4, 4, 0).
    *   Jarak AP = $\sqrt{(4-0)^2 + (4-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ cm.

Cara Lain Menggunakan Luas Segitiga:
Perhatikan segitiga AEB. AE = AB = 8 cm (rusuk kubus). EB adalah diagonal sisi, EB = $8\sqrt{2}$ cm.
Segitiga AEB adalah segitiga siku-siku di A.
Luas segitiga AEB = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * AE * AB = 1/2 * 8 * 8 = 32 cm$^2$.
Luas segitiga AEB juga bisa dihitung dengan alas EB dan tinggi AP (jarak A ke EB):
Luas segitiga AEB = 1/2 * EB * AP
32 = 1/2 * $8\sqrt{2}$ * AP
32 = $4\sqrt{2}$ * AP
AP = $32 / (4\sqrt{2}) = 8 / \sqrt{2} = 8\sqrt{2} / 2 = 4\sqrt{2}$ cm.