Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Tentukan jarak

Jarak titik C ke bidang BDG adalah $2\sqrt{3}$ cm.

Pembahasan

Untuk menentukan jarak titik C ke bidang BDG pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, kita dapat menggunakan beberapa metode, salah satunya adalah dengan memproyeksikan titik C ke bidang BDG.

1.  **Memahami Bidang BDG:** Bidang BDG dibentuk oleh diagonal alas BD dan diagonal ruang BG.
2.  **Menentukan Titik Proyeksi:** Kita perlu mencari titik pada bidang BDG yang paling dekat dengan C. Titik ini akan membentuk garis tegak lurus dari C ke bidang BDG.
3.  **Menggunakan Koordinat Kartesius:**
    *   Misalkan titik A sebagai titik asal (0,0,0).
    *   Panjang rusuk = 6 cm.
    *   Koordinat titik-titik:
        *   A = (0,0,0)
        *   B = (6,0,0)
        *   C = (6,6,0)
        *   D = (0,6,0)
        *   E = (0,0,6)
        *   F = (6,0,6)
        *   G = (6,6,6)
        *   H = (0,6,6)
    *   Bidang BDG melalui titik B(6,0,0), D(0,6,0), dan G(6,6,6).
    *   Persamaan bidang dapat dicari. Namun, lebih mudah jika kita mengenali bahwa bidang BDG adalah bidang diagonal.
4.  **Pendekatan Geometri Ruang (Menggunakan Volume):**
    *   Perhatikan limas C.BDG. Jarak C ke bidang BDG adalah tinggi limas jika alasnya BDG.
    *   Alternatif lain, perhatikan simetri kubus. Titik C terletak pada salah satu sudut alas. Bidang BDG memotong kubus secara diagonal.
    *   Jarak titik C ke bidang BDG sama dengan jarak titik A ke bidang BDG karena simetri.
    *   Bidang BDG membagi kubus menjadi dua bagian. Akan tetapi, C tidak berada di tengah-tengah.

5.  **Menggunakan Rumus Jarak Titik ke Bidang (jika persamaan bidang diketahui):**
    *   Persamaan bidang yang melalui B(6,0,0), D(0,6,0), G(6,6,6).
    *   Vektor $\vec{DB}$ = (6, -6, 0)
    *   Vektor $\vec{DG}$ = (6, 0, 6)
    *   Vektor normal bidang n = $\vec{DB} \times \vec{DG}$
        *   n = | i   j   k  |
              | 6  -6   0  |
              | 6   0   6  |
        *   n = i(-36 - 0) - j(36 - 0) + k(0 - (-36))
        *   n = -36i - 36j + 36k = (-36, -36, 36)
        *   Kita bisa ambil vektor normal yang lebih sederhana: (1, 1, -1).
    *   Persamaan bidang: $1(x-0) + 1(y-6) + (-1)(z-0) = 0 
    *   $x + y - 6 - z = 0 
    *   $x + y - z - 6 = 0$. (Cek dengan titik B: 6+0-0-6=0; Cek dengan D: 0+6-0-6=0; Cek dengan G: 6+6-6-6=0. Benar).
    *   Titik C = (6,6,0).
    *   Jarak C ke bidang = $|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D| / \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$
    *   Jarak = $|1(6) + 1(6) + (-1)(0) - 6| / \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}$
    *   Jarak = $|6 + 6 + 0 - 6| / \sqrt{1 + 1 + 1}$
    *   Jarak = $|6| / \sqrt{3} = 6 / \sqrt{3} = 6\sqrt{3} / 3 = 2\sqrt{3}$ cm.

**Cara Lain Menggunakan Luas Permukaan:**
Jarak titik C ke bidang BDG sama dengan 1/3 dari tinggi kubus jika kita melihatnya dari sudut pandang lain atau menggunakan perbandingan dalam tetrahedron.

Mari kita gunakan pendekatan yang lebih visual.
Perhatikan kubus dan bidang BDG. Bidang BDG memotong rusuk AE, CG, dan DH. Jarak titik C ke bidang BDG akan tegak lurus terhadap bidang tersebut. Titik C berada pada bidang ABCD (alas). Bidang BDG memotong alas pada garis BD.

Perhatikan bidang diagonal ACGE. Bidang BDG memotong bidang ACGE. 

Perhatikan segitiga siku-siku BCD (alas) dan segitiga siku-siku BCG (sisi). Titik C adalah sudut siku-siku di kedua segitiga tersebut.

Jarak titik C ke bidang BDG sama dengan jarak antara rusuk CG (yang tegak lurus bidang ABCD) dengan bidang BDG.

Karena rusuk AE, CG, DH sejajar, dan bidang BDG memotong mereka, jarak C ke BDG adalah jarak yang sama dari H ke BDG, atau D ke BDG, atau B ke BDG. Namun, B, D, G sudah ada di bidang.

Jarak C ke bidang BDG adalah jarak titik C ke proyeksinya pada bidang BDG. Proyeksi C pada bidang BDG adalah titik yang membuat garis tegak lurus ke bidang tersebut.

Titik yang paling dekat dengan C pada bidang BDG adalah titik O, yaitu perpotongan diagonal AC dan BD pada bidang alas, jika bidangnya adalah BCD. Namun, bidangnya BDG.

Mari kita pertimbangkan kubus dan bidang BDG. Bidang BDG memotong rusuk AE di suatu titik P, rusuk CG di titik Q, dan rusuk DH di titik R. Titik C berada pada bidang ABCD. Kita perlu mencari jarak C ke bidang BDG.

Dalam kubus, jarak dari sudut ke bidang diagonal yang memotongnya adalah $1/3$ dari panjang diagonal ruang.
Diagonal ruang AG = $s\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.

Titik C berada pada bidang alas. Bidang BDG memotong bidang alas pada BD. Jarak C ke BD dalam bidang alas adalah jarak C ke garis BD. Dalam segitiga siku-siku BCD, jarak C ke BD adalah tinggi segitiga dari C ke hipotenusa BD.
Panjang BD = $6\sqrt{2}$. Luas BCD = 1/2 * 6 * 6 = 18. 1/2 * BD * tinggi = 18. 1/2 * $6\sqrt{2}$ * tinggi = 18. tinggi = $36 / (6\sqrt{2}) = 6 / \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

Sekarang kita kembali ke jarak C ke bidang BDG. Jarak ini adalah tinggi dari tetrahedron C.BDG jika kita memandang alasnya adalah BDG.

Cara paling mudah adalah dengan menggunakan perbandingan jarak dalam kubus. Jarak dari titik C ke bidang diagonal BDG adalah sepertiga dari panjang rusuk kubus jika bidang tersebut adalah bidang diagonal yang melalui sudut yang berlawanan. Namun, di sini bidangnya BDG.

Misalkan kita menggunakan vektor lagi:
Titik C = (6,6,0).
Bidang BDG: $x+y-z-6 = 0$.
Jarak = $|6+6-0-6| / \sqrt{1^2+1^2+(-1)^2} = |6| / \sqrt{3} = 6/\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ cm.