Pada kubus ABCD.EFGH, P titik tengah HD dan Q pada AE

PQRG bukan bidang datar karena titik P, Q, R, dan G tidak koplanar.

Pembahasan

Untuk menyelidiki apakah PQRG merupakan sebuah bidang datar, kita perlu memeriksa apakah keempat titik P, Q, R, dan G terletak pada satu bidang yang sama. Hal ini dapat dilakukan dengan memeriksa apakah vektor-vektor yang menghubungkan titik-titik tersebut koplanar (sebidang).

Misalkan kita tetapkan titik A sebagai titik asal (0,0,0). Maka koordinat titik-titik pada kubus dapat dinyatakan sebagai:
A = (0,0,0)
B = (s,0,0)
C = (s,s,0)
D = (0,s,0)
E = (0,0,s)
F = (s,0,s)
G = (s,s,s)
H = (0,s,s)

Dimana 's' adalah panjang rusuk kubus.

Titik P adalah titik tengah HD. Koordinat H = (0,s,s) dan D = (0,s,0). Maka koordinat P adalah:
P = ((0+0)/2, (s+s)/2, (s+0)/2) = (0, s, s/2)

Titik Q pada AE sehingga AQ:AE = 1:3. Koordinat A = (0,0,0) dan E = (0,0,s). Maka koordinat Q adalah:
Q = (1/3)E + (2/3)A = (1/3)(0,0,s) + (2/3)(0,0,0) = (0, 0, s/3)

Titik R pada BF sehingga BR:RF = 1:6. Koordinat B = (s,0,0) dan F = (s,0,s). Maka koordinat R adalah:
R = (6/7)B + (1/7)F = (6/7)(s,0,0) + (1/7)(s,0,s) = (6s/7 + s/7, 0, s/7) = (s, 0, s/7)

G adalah (s,s,s).

Sekarang kita periksa apakah PQRG koplanar. Kita bisa menggunakan vektor:

PQ = Q - P = (0, 0, s/3) - (0, s, s/2) = (0, -s, -s/6)
PR = R - P = (s, 0, s/7) - (0, s, s/2) = (s, -s, s/7 - s/2) = (s, -s, (2s - 7s)/14) = (s, -s, -5s/14)
PG = G - P = (s, s, s) - (0, s, s/2) = (s, 0, s/2)

Keempat titik PQRG adalah bidang datar jika ketiga vektor PQ, PR, dan PG koplanar. Ini berarti produk skalar tripel (scalar triple product) dari ketiga vektor tersebut adalah nol.

[PQ, PR, PG] = det([[0, -s, -s/6], [s, -s, -5s/14], [s, 0, s/2]])

= 0 * ((-s)(s/2) - (-5s/14)(0)) - (-s) * (s(s/2) - (-5s/14)(s)) + (-s/6) * (s(0) - (-s)(s))

= 0 - (-s) * (s²/2 + 5s²/14) + (-s/6) * (s²)

= s * (7s²/14 + 5s²/14) - s³/6

= s * (12s²/14) - s³/6

= 12s³/14 - s³/6

= 6s³/7 - s³/6

= (36s³ - 7s³)/42

= 29s³/42

Karena hasil produk skalar tripel (29s³/42) tidak sama dengan nol (kecuali jika s=0, yang bukan merupakan kubus), maka vektor PQ, PR, dan PG tidak koplanar. Oleh karena itu, titik P, Q, R, dan G tidak terletak pada satu bidang yang sama.

Kesimpulan: PQRG bukan merupakan sebuah bidang datar.

Jawaban Ringkas: PQRG bukan sebuah bidang datar karena keempat titik tersebut tidak koplanar.