Pada kubus ABCD.EFGH, titik P adalah titik potong diagonal

Nilai sin sudut PBR adalah sqrt(10)/5.

Pembahasan

Soal ini meminta untuk mencari nilai sinus sudut PBR pada kubus ABCD.EFGH. Diketahui titik P adalah titik potong diagonal AH dan DE, serta R terletak di tengah rusuk AD.

Untuk menyelesaikan ini, kita perlu menggunakan konsep geometri ruang, vektor, atau trigonometri dalam segitiga.

Misalkan panjang rusuk kubus adalah 's'. Kita bisa menempatkan kubus ini dalam sistem koordinat.

Misalkan A = (0, 0, 0)
B = (s, 0, 0)
D = (0, s, 0)
E = (0, 0, s)
H = (s, s, s)

Titik P adalah titik potong diagonal AH dan DE. Ini adalah perhitungan yang cukup kompleks dan mungkin memerlukan konsep vektor atau proyeksi. Namun, jika P adalah titik tengah rusuk DH (ini adalah interpretasi umum dari titik potong diagonal bidang), maka P = (0, s, s/2) atau jika P adalah titik tengah rusuk EH, P = (s/2, s, s). Jika P adalah titik potong diagonal bidang ADHE, maka P adalah pusat dari bidang tersebut. Namun, soal menyatakan 'titik potong diagonal AH dan DE', yang mengacu pada diagonal ruang AH dan diagonal bidang DEH (jika kita perpanjang).

Asumsi yang lebih mungkin berdasarkan konteks soal matematika adalah P adalah titik tengah dari rusuk DH, atau P adalah titik tengah dari diagonal ruang AH. Mari kita asumsikan P adalah titik tengah dari diagonal ruang AH.

Jika P adalah titik tengah AH, maka P = ( (0+s)/2, (0+s)/2, (0+s)/2 ) = (s/2, s/2, s/2).

Titik R adalah tengah rusuk AD. Maka R = ( (0+0)/2, (0+s)/2, (0+0)/2 ) = (0, s/2, 0).

Titik B = (s, 0, 0).

Kita perlu mencari sudut PBR. Untuk ini, kita bisa mencari vektor BP dan BR.

Vektor BP = P - B = (s/2 - s, s/2 - 0, s/2 - 0) = (-s/2, s/2, s/2)

Vektor BR = R - B = (0 - s, s/2 - 0, 0 - 0) = (-s, s/2, 0)

Kita gunakan rumus dot product untuk mencari sudut:
BP · BR = |BP| |BR| cos(theta)

BP · BR = (-s/2)(-s) + (s/2)(s/2) + (s/2)(0)
BP · BR = s²/2 + s²/4 + 0 = 3s²/4

|BP| = sqrt((-s/2)² + (s/2)² + (s/2)²) = sqrt(s²/4 + s²/4 + s²/4) = sqrt(3s²/4) = (s/2)sqrt(3)
|BR| = sqrt((-s)² + (s/2)² + 0²) = sqrt(s² + s²/4) = sqrt(5s²/4) = (s/2)sqrt(5)

cos(theta) = (BP · BR) / (|BP| |BR|)
cos(theta) = (3s²/4) / [ (s/2)sqrt(3) * (s/2)sqrt(5) ]
cos(theta) = (3s²/4) / [ (s²/4)sqrt(15) ]
cos(theta) = 3 / sqrt(15)

Kita perlu sin(theta). Kita tahu bahwa sin²(theta) + cos²(theta) = 1.

sin²(theta) = 1 - cos²(theta)
sin²(theta) = 1 - (3/sqrt(15))²
sin²(theta) = 1 - (9/15)
sin²(theta) = 1 - 3/5
sin²(theta) = 2/5

sin(theta) = sqrt(2/5) = sqrt(2)/sqrt(5) = sqrt(10)/5

Jadi, nilai sin sudut PBR adalah sqrt(10)/5.