Pada sebuah segitiga ABC, diketahui! AB=8 cm, BC=11 cm, dan

17 cm

Pembahasan

Soal #5 meminta untuk menghitung panjang CP, di mana C adalah titik pada segitiga ABC dan P adalah titik pada perpanjangan AB.

Diketahui:
Segitiga ABC
AB = 8 cm
BC = 11 cm
CA = 13 cm
P terletak pada perpanjangan AB sehingga AP:PB = 5:3.

Karena P terletak pada perpanjangan AB dan AP:PB = 5:3, ini berarti P berada di luar segmen AB. Jika kita membayangkan garis AB, P akan berada di sisi B sehingga AP lebih panjang dari AB.

Panjang total AP = AB + BP.
Dari perbandingan AP:PB = 5:3, kita dapat menyatakan AP = 5x dan PB = 3x.
Panjang AB = AP - PB = 5x - 3x = 2x.
Kita tahu AB = 8 cm, jadi 2x = 8 cm, yang berarti x = 4 cm.

Maka:
AP = 5x = 5 * 4 cm = 20 cm.
PB = 3x = 3 * 4 cm = 12 cm.
(Cek: AP - PB = 20 - 12 = 8 cm = AB, sesuai)

Sekarang kita memiliki segitiga ABC dengan panjang sisi-sisinya, dan kita perlu mencari panjang CP di mana P adalah titik pada perpanjangan garis AB sedemikian rupa sehingga P, A, B segaris dan PB = 12 cm (atau AP = 20 cm).

Kita bisa menggunakan Aturan Cosinus pada segitiga CAP atau segitiga CBP.
Mari kita gunakan segitiga CBP.
Kita perlu mencari sudut ∠CBP. Karena P berada pada perpanjangan AB, maka ∠CBP adalah sudut luar dari segitiga ABC pada titik B, atau lebih tepatnya, ∠CBP = 180° - ∠ABC.

Untuk mencari ∠ABC, kita gunakan Aturan Cosinus pada segitiga ABC:
AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(∠ABC)
13² = 8² + 11² - 2 * 8 * 11 * cos(∠ABC)
169 = 64 + 121 - 176 * cos(∠ABC)
169 = 185 - 176 * cos(∠ABC)
176 * cos(∠ABC) = 185 - 169
176 * cos(∠ABC) = 16
cos(∠ABC) = 16 / 176 = 1 / 11

Karena ∠CBP = 180° - ∠ABC, maka cos(∠CBP) = cos(180° - ∠ABC) = -cos(∠ABC) = -1/11.

Sekarang gunakan Aturan Cosinus pada segitiga CBP untuk mencari panjang CP:
CP² = CB² + PB² - 2 * CB * PB * cos(∠CBP)
CP² = 11² + 12² - 2 * 11 * 12 * (-1/11)
CP² = 121 + 144 - 264 * (-1/11)
CP² = 265 + (264 / 11)
CP² = 265 + 24
CP² = 289
CP = √289
CP = 17 cm.

Jadi, panjang CP adalah 17 cm.