Pada segitiga ABC, sisi AC=16 cm, AB=21 cm, dan beta=42,

Sudut C bisa sekitar 61.42° atau 118.58°, yang menentukan sudut A.

Pembahasan

Untuk menentukan sudut-sudut segitiga ABC yang lain, kita dapat menggunakan aturan sinus dan kosinus.

Diketahui:
AC = b = 16 cm
AB = c = 21 cm
Sudut Beta (B) = 42 derajat

Langkah 1: Gunakan aturan kosinus untuk mencari panjang sisi BC (a).
Aturan Kosinus: a² = b² + c² - 2bc cos(A)
Namun, kita tidak mengetahui sudut A. Kita bisa gunakan aturan kosinus untuk mencari sisi a jika kita tahu sudut A, atau mencari sisi lain jika kita tahu sudut di depannya.

Karena kita diberikan dua sisi (b dan c) dan sudut di antara mereka (B), kita seharusnya bisa menggunakan aturan kosinus untuk mencari sisi di depannya (b), atau aturan sinus untuk mencari sudut lain.
Mari kita asumsikan soal tersebut maksudnya adalah diketahui sisi AC = 16 cm (sisi b), sisi AB = 21 cm (sisi c), dan sudut di hadapan sisi AC (sudut B) adalah 42 derajat. Ini adalah informasi yang tidak biasa karena sudut B biasanya diapit oleh sisi a dan c.

Jika kita menginterpretasikan bahwa yang diketahui adalah:
AC (b) = 16 cm
AB (c) = 21 cm
Sudut Beta (∠B) = 42°

Ini berarti kita memiliki dua sisi dan satu sudut yang *bukan* diapit oleh kedua sisi tersebut. Ini adalah kasus SSA (Side-Side-Angle) yang bisa memiliki nol, satu, atau dua solusi.

Mari kita coba gunakan Aturan Sinus untuk mencari sudut C:
a/sin A = b/sin B = c/sin C
Kita belum tahu sisi a atau sudut A atau C.

Mari kita asumsikan ada kesalahan pengetikan dan yang dimaksud adalah sudut di antara sisi AC dan AB, yaitu sudut A = 42 derajat.
Jika ∠A = 42°:
Kita bisa mencari sisi a menggunakan Aturan Kosinus:
a² = b² + c² - 2bc cos(A)
a² = 16² + 21² - 2 * 16 * 21 * cos(42°)
a² = 256 + 441 - 672 * cos(42°)
a² = 697 - 672 * 0.7431
a² = 697 - 499.30
a² = 197.70
a ≈ 14.06 cm

Setelah mendapatkan sisi a, kita bisa mencari sudut B dan C menggunakan Aturan Sinus:
b/sin B = a/sin A
16 / sin B = 14.06 / sin(42°)
sin B = (16 * sin(42°)) / 14.06
sin B = (16 * 0.6691) / 14.06
sin B = 10.7056 / 14.06
sin B ≈ 0.7614
B = arcsin(0.7614) ≈ 49.57°

Karena jumlah sudut dalam segitiga adalah 180°:
C = 180° - A - B
C = 180° - 42° - 49.57°
C = 88.43°

Jadi, jika ∠A = 42°:
Sudut B ≈ 49.57°
Sudut C ≈ 88.43°

Sekarang, mari kita kembali ke interpretasi awal soal di mana ∠B = 42°:
AC (b) = 16 cm
AB (c) = 21 cm
∠B = 42°

Gunakan Aturan Sinus untuk mencari sudut C:
b/sin B = c/sin C
16 / sin(42°) = 21 / sin C
sin C = (21 * sin(42°)) / 16
sin C = (21 * 0.6691) / 16
sin C = 14.0511 / 16
sin C ≈ 0.8782

Ada dua kemungkinan untuk sudut C karena sinus positif di kuadran I dan II:
C1 = arcsin(0.8782) ≈ 61.42°
C2 = 180° - 61.42° = 118.58°

Kasus 1: C1 = 61.42°
Jika C = 61.42°, maka A = 180° - B - C = 180° - 42° - 61.42° = 76.58°
Mari kita cek konsistensi dengan aturan sinus:
a/sin A = b/sin B
a / sin(76.58°) = 16 / sin(42°)
a = (16 * sin(76.58°)) / sin(42°)
a = (16 * 0.9728) / 0.6691
a = 15.5648 / 0.6691
a ≈ 23.26 cm

Kasus 2: C2 = 118.58°
Jika C = 118.58°, maka A = 180° - B - C = 180° - 42° - 118.58° = 19.42°
Mari kita cek konsistensi dengan aturan sinus:
a/sin A = b/sin B
a / sin(19.42°) = 16 / sin(42°)
a = (16 * sin(19.42°)) / sin(42°)
a = (16 * 0.3326) / 0.6691
a = 5.3216 / 0.6691
a ≈ 7.95 cm

Karena soal tidak memberikan informasi lebih lanjut untuk memilih antara dua kasus, biasanya diasumsikan kasus pertama (sudut lancip). Namun, kedua kasus valid.

Jawaban berdasarkan interpretasi ∠B = 42°:
Sudut C ≈ 61.42° atau 118.58°.
Jika C ≈ 61.42°, maka Sudut A ≈ 76.58°.
Jika C ≈ 118.58°, maka Sudut A ≈ 19.42°.