Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 13 cm, 14 cm, dan

r=4 cm, R=8.125 cm, r_singgung=10.5, 12, 14 cm

Pembahasan

Untuk segitiga dengan panjang sisi a = 13 cm, b = 14 cm, dan c = 15 cm, kita dapat menghitung:

a. Panjang Jari-jari Lingkaran Dalam (r):
Pertama, hitung luas segitiga menggunakan rumus Heron. 
Semi-perimeter (s) = (a + b + c) / 2 = (13 + 14 + 15) / 2 = 42 / 2 = 21 cm.
Luas (L) = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))
L = sqrt(21(21-13)(21-14)(21-15))
L = sqrt(21 * 8 * 7 * 6)
L = sqrt(7056) = 84 cm².

Rumus jari-jari lingkaran dalam: r = L / s
r = 84 cm² / 21 cm
r = 4 cm.

b. Panjang Jari-jari Lingkaran Luar (R):
Rumus jari-jari lingkaran luar: R = (abc) / (4L)
R = (13 * 14 * 15) / (4 * 84)
R = 2730 / 336
R = 8.125 cm.

c. Panjang Jari-jari Lingkaran yang Menyinggung Ketiga Sisi (Lingkaran Singgung/Excircle):
Ada tiga lingkaran singgung, masing-masing menyinggung satu sisi dan perpanjangan dua sisi lainnya. Jari-jari lingkaran singgung (ra, rb, rc) dihitung sebagai berikut:
ra = L / (s-a) = 84 / (21-13) = 84 / 8 = 10.5 cm (menyinggung sisi a)
rb = L / (s-b) = 84 / (21-14) = 84 / 7 = 12 cm (menyinggung sisi b)
rc = L / (s-c) = 84 / (21-15) = 84 / 6 = 14 cm (menyinggung sisi c)

Jadi:
a. Jari-jari lingkaran dalam adalah 4 cm.
b. Jari-jari lingkaran luar adalah 8.125 cm.
c. Jari-jari lingkaran singgung adalah 10.5 cm, 12 cm, dan 14 cm.