Peluang seseorang sembuh dari suatu penyakit adalah 0,5.

a. $\approx 0.15086$, b. $\approx 0.6914$, c. $\approx 0.0916$

Pembahasan

Ini adalah masalah probabilitas yang mengikuti distribusi binomial, karena ada dua hasil yang mungkin (sembuh atau tidak sembuh) dan jumlah percobaan (orang) tetap.

Diketahui:
- Peluang seseorang sembuh ($p$) = 0.5
- Peluang seseorang tidak sembuh ($q$) = 1 - $p$ = 1 - 0.5 = 0.5
- Jumlah orang ($n$) = 15

Rumus probabilitas binomial adalah: $P(X=k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, di mana $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

**a. Peluang sekurang-kurangnya 10 orang dapat sembuh:**
Ini berarti kita perlu menghitung $P(X \ge 10)$, yaitu $P(X=10) + P(X=11) + P(X=12) + P(X=13) + P(X=14) + P(X=15)$.

Karena $p = q = 0.5$, maka $p^k \cdot q^{n-k} = (0.5)^k \cdot (0.5)^{15-k} = (0.5)^{15}$.
Jadi, $P(X=k) = C(15, k) \cdot (0.5)^{15}$.

$P(X 
 \ge 10) = [C(15, 10) + C(15, 11) + C(15, 12) + C(15, 13) + C(15, 14) + C(15, 15)] \cdot (0.5)^{15}$

$C(15, 10) = C(15, 5) = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003$
$C(15, 11) = C(15, 4) = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1365$
$C(15, 12) = C(15, 3) = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$
$C(15, 13) = C(15, 2) = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$
$C(15, 14) = C(15, 1) = 15$
$C(15, 15) = 1$

Jumlah kombinasi = $3003 + 1365 + 455 + 105 + 15 + 1 = 4944$

$P(X \ge 10) = 4944 \cdot (0.5)^{15} \approx 4944 \cdot 0.000030517 
 \approx 0.15086$

**b. Peluang ada 3 sampai 8 orang yang sembuh:**
Ini berarti kita perlu menghitung $P(3 \le X \le 8) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)$.

$P(3 \le X \le 8) = [C(15, 3) + C(15, 4) + C(15, 5) + C(15, 6) + C(15, 7) + C(15, 8)] \cdot (0.5)^{15}$

$C(15, 3) = 455$
$C(15, 4) = 1365$
$C(15, 5) = 3003$
$C(15, 6) = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5005$
$C(15, 7) = \frac{15!}{7!8!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 6435$
$C(15, 8) = C(15, 7) = 6435$

Jumlah kombinasi = $455 + 1365 + 3003 + 5005 + 6435 + 6435 = 22700$

$P(3 \le X \le 8) = 22700 \cdot (0.5)^{15} \approx 22700 \cdot 0.000030517 
 \approx 0.6914$

**c. Peluang tepat 5 orang yang sembuh:**
Ini berarti kita perlu menghitung $P(X=5)$.

$P(X=5) = C(15, 5) \cdot (0.5)^{15}$
$C(15, 5) = 3003$

$P(X=5) = 3003 \cdot (0.5)^{15} \approx 3003 \cdot 0.000030517 
 \approx 0.0916$

Jadi, peluangnya adalah:
a. Sekurang-kurangnya 10 orang sembuh: $\approx 0.15086$
b. 3 sampai 8 orang sembuh: $\approx 0.6914$
c. Tepat 5 orang sembuh: $\approx 0.0916$