Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11mathIntegralKalkulus

Penyelesaian dari integral (x-1)^2(x+3)/(x akar(x)) dx=...

Pertanyaan

Tentukan penyelesaian dari integral $\int \frac{(x-1)^2(x+3)}{x \sqrt{x}} dx$

Solusi

Verified

$\frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{2}{3}x^{3/2} - 10x^{1/2} - 6x^{-1/2} + C$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral ini, kita perlu menyederhanakan ekspresi di dalam integral terlebih dahulu. Ekspresi: $\frac{(x-1)^2(x+3)}{x \sqrt{x}}$ 1. Jabarkan $(x-1)^2$: $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$ 2. Kalikan dengan $(x+3)$: $(x^2 - 2x + 1)(x+3)$ $= x^2(x+3) - 2x(x+3) + 1(x+3)$ $= x^3 + 3x^2 - 2x^2 - 6x + x + 3$ $= x^3 + x^2 - 5x + 3$ 3. Bentuk keseluruhan pembilang: $x^3 + x^2 - 5x + 3$ 4. Bentuk penyebut: $x \sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$ 5. Integral menjadi: $\int \frac{x^3 + x^2 - 5x + 3}{x^{3/2}} dx$ 6. Pisahkan menjadi beberapa pecahan: $\int (\frac{x^3}{x^{3/2}} + \frac{x^2}{x^{3/2}} - \frac{5x}{x^{3/2}} + \frac{3}{x^{3/2}}) dx$ 7. Sederhanakan pangkatnya (gunakan sifat $x^a / x^b = x^{a-b}$): $\int (x^{3 - 3/2} + x^{2 - 3/2} - 5x^{1 - 3/2} + 3x^{-3/2}) dx$ $= \int (x^{3/2} + x^{1/2} - 5x^{-1/2} + 3x^{-3/2}) dx$ 8. Integralkan setiap suku menggunakan aturan $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$: * $\int x^{3/2} dx = \frac{x^{3/2 + 1}}{3/2 + 1} = \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}x^{5/2}$ * $\int x^{1/2} dx = \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$ * $\int -5x^{-1/2} dx = -5 \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} = -5 \frac{x^{1/2}}{1/2} = -5(2x^{1/2}) = -10x^{1/2}$ * $\int 3x^{-3/2} dx = 3 \frac{x^{-3/2 + 1}}{-3/2 + 1} = 3 \frac{x^{-1/2}}{-1/2} = 3(-2x^{-1/2}) = -6x^{-1/2}$ 9. Gabungkan semua hasil integral: $\frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{2}{3}x^{3/2} - 10x^{1/2} - 6x^{-1/2} + C$ 10. Tulis ulang dengan akar dan pangkat positif: $= \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} + \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 10\sqrt{x} - \frac{6}{\sqrt{x}} + C$ Ini adalah penyelesaian dari integral tersebut.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Integral Tak Tentu
Section: Integral Fungsi Aljabar

Apakah jawaban ini membantu?