Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 10Kelas 11mathEksponensial Dan Logaritma

Penyelesaian dari pertidaksamaan 2^(x+5)<2^(x^2+6x+11)

Pertanyaan

Penyelesaian dari pertidaksamaan $2^{x+5} < 2^{x^2+6x+11}$ adalah ....

Solusi

Verified

$x < -3$ atau $x > -2$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $2^{x+5} < 2^{x^2+6x+11}$, kita bisa memanfaatkan sifat bahwa fungsi eksponensial $f(y) = 2^y$ adalah fungsi yang monoton naik. Ini berarti jika $2^a < 2^b$, maka $a < b$. Oleh karena itu, kita bisa menyamakan eksponennya: $x + 5 < x^2 + 6x + 11$ Sekarang, kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat ini. Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk mendapatkan 0 di sisi lain: $0 < x^2 + 6x + 11 - (x + 5)$ $0 < x^2 + 6x + 11 - x - 5$ $0 < x^2 + 5x + 6$ atau $x^2 + 5x + 6 > 0$ Selanjutnya, kita faktorkan ekspresi kuadrat $x^2 + 5x + 6$. Kita mencari dua bilangan yang hasil kalinya adalah 6 dan jumlahnya adalah 5. Bilangan tersebut adalah 2 dan 3. $(x + 2)(x + 3) > 0$ Untuk menentukan interval di mana pertidaksamaan ini benar, kita cari akar-akar dari $x^2 + 5x + 6 = 0$, yaitu $x = -2$ dan $x = -3$. Titik-titik ini membagi garis bilangan menjadi tiga interval: $(-\\infty, -3)$, $(-3, -2)$, dan $(-2, \\infty)$. Kita uji satu nilai dari setiap interval: 1. Interval $(-\\infty, -3)$: Pilih $x = -4$. $(-4+2)(-4+3) = (-2)(-1) = 2$. Karena $2 > 0$, interval ini adalah solusi. 2. Interval $(-3, -2)$: Pilih $x = -2.5$. $(-2.5+2)(-2.5+3) = (-0.5)(0.5) = -0.25$. Karena $-0.25 < 0$, interval ini bukan solusi. 3. Interval $(-2, \\infty)$: Pilih $x = 0$. $(0+2)(0+3) = (2)(3) = 6$. Karena $6 > 0$, interval ini adalah solusi. Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan $x^2 + 5x + 6 > 0$ adalah $x < -3$ atau $x > -2$. Dengan demikian, penyelesaian dari pertidaksamaan awal $2^{x+5} < 2^{x^2+6x+11}$ adalah $x < -3$ atau $x > -2$.
Topik: Pertidaksamaan Eksponensial
Section: Sifat Fungsi Monoton Naik

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...