Kelas 10mathAljabar
Penyelesaian dari pertidaksamaan |(x-2)/(x+3)|<2 adalah
Pertanyaan
Penyelesaian dari pertidaksamaan |(x-2)/(x+3)|<2 adalah ....
Solusi
Verified
Penyelesaiannya adalah x < -8 atau -3 < x < -4/3 atau x > -4/3.
Pembahasan
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak |(x-2)/(x+3)| < 2, kita dapat menggunakan definisi nilai mutlak atau mengkuadratkan kedua sisi. **Metode 1: Mengkuadratkan Kedua Sisi** Karena kedua sisi pertidaksamaan tidak negatif (nilai mutlak selalu non-negatif), kita bisa mengkuadratkan kedua sisi: $$(x-2)^2 / (x+3)^2 < 2^2$$ $$(x-2)^2 < 4(x+3)^2$$ $$(x^2 - 4x + 4) < 4(x^2 + 6x + 9)$$ $$x^2 - 4x + 4 < 4x^2 + 24x + 36$$ Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk mendapatkan pertidaksamaan kuadrat: $$0 < 4x^2 - x^2 + 24x + 4x + 36 - 4$$ $$0 < 3x^2 + 28x + 32$$ $$3x^2 + 28x + 32 > 0$$ Sekarang, kita cari akar-akar dari persamaan kuadrat $3x^2 + 28x + 32 = 0$ menggunakan rumus ABC atau faktorisasi. Dengan rumus ABC ($x = [-b ± ":Sqrt(b^2 - 4ac)"]/(2a)$): $$x = [-28 ± ":Sqrt(28^2 - 4*3*32)"]/(2*3)$$ $$x = [-28 ± ":Sqrt(784 - 384)"]/6$$ $$x = [-28 ± ":Sqrt(400)"]/6$$ $$x = [-28 ± 20]/6$$ Akar-akarnya adalah: $$x1 = (-28 + 20)/6 = -8/6 = -4/3$$ $$x2 = (-28 - 20)/6 = -48/6 = -8$$ Karena koefisien $x^2$ positif (3), parabola terbuka ke atas. Pertidaksamaan $3x^2 + 28x + 32 > 0$ terpenuhi ketika $x < -8$ atau $x > -4/3$. **Penting:** Kita harus ingat bahwa penyebut $(x+3)$ tidak boleh nol, jadi $x \neq -3$. Dalam interval $x < -8$, nilai $x = -3$ tidak termasuk. Dalam interval $x > -4/3$, nilai $x = -3$ juga tidak termasuk karena $-3 < -4/3$ (salah, $-3$ lebih kecil dari $-4/3$). Jadi kita perlu memisahkan intervalnya. Mari kita periksa kembali garis bilangan: -Interval 1: $x < -8$. Nilai $x=-3$ tidak termasuk di sini. -Interval 2: $-8 < x < -4/3$. Nilai $x=-3$ berada di dalam interval ini. -Interval 3: $x > -4/3$. Nilai $x=-3$ tidak termasuk di sini. Penyebut tidak boleh nol, jadi $x \neq -3$. Oleh karena itu, kita harus mengecualikan $-3$ dari solusi. Solusi menjadi: $x < -8$ atau $(-8 < x < -3)$ atau $(-3 < x < -4/3)$. **Metode 2: Menggunakan Definisi Nilai Mutlak** $|(x-2)/(x+3)| < 2$ berarti $$-2 < (x-2)/(x+3) < 2$$ Ini dipecah menjadi dua pertidaksamaan: 1. $(x-2)/(x+3) < 2$ $(x-2)/(x+3) - 2 < 0$ $((x-2) - 2(x+3))/(x+3) < 0$ $(x-2-2x-6)/(x+3) < 0$ $(-x-8)/(x+3) < 0$ $(x+8)/(x+3) > 0$ (mengalikan dengan -1 dan membalik tanda) Solusinya: $x < -8$ atau $x > -3$ 2. $(x-2)/(x+3) > -2$ $(x-2)/(x+3) + 2 > 0$ $((x-2) + 2(x+3))/(x+3) > 0$ $(x-2+2x+6)/(x+3) > 0$ $(3x+4)/(x+3) > 0$ Solusinya: $x < -3$ atau $x > -4/3$ Sekarang kita cari irisan dari kedua solusi tersebut: Solusi 1: $(-":Inf", -8) \cup (-3, \":Inf")$ Solusi 2: $(-":Inf", -3) \cup (-4/3, \":Inf")$ Irisannya adalah: $(-":Inf", -8) \cup (-4/3, \":Inf")$ Namun, kita harus ingat bahwa $x \neq -3$. Nilai $-3$ terletak di antara $-8$ dan $-4/3$. Jadi, irisan yang benar adalah: $(-":Inf", -8) \cup (-3, -4/3) \cup (-4/3, \":Inf")$ Kesimpulan: Solusi dari pertidaksamaan $|(x-2)/(x+3)|<2$ adalah $x < -8$ atau $x > -4/3$, dengan syarat $x \neq -3$. Jadi, penyelesaiannya adalah $x < -8$ atau $-3 < x < -4/3$ atau $x > -4/3$.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Section: Pertidaksamaan Rasional Nilai Mutlak
Apakah jawaban ini membantu?