Penyelesaian dari sin(x/4)=sin(pi/8), untuk 0<=x<=2pi

x = π/2

Pembahasan

Penyelesaian dari sin(x/4) = sin(π/8) untuk 0 ≤ x ≤ 2π.  Dua sudut yang memiliki nilai sinus yang sama adalah θ dan π - θ.  Maka, kita memiliki dua kemungkinan:
1. x/4 = π/8 + 2kπ (di mana k adalah bilangan bulat)
   Kalikan kedua sisi dengan 4:
   x = 4(π/8) + 4(2kπ)
   x = π/2 + 8kπ
   Untuk rentang 0 ≤ x ≤ 2π:
   Jika k = 0, x = π/2. Nilai ini berada dalam rentang.
   Jika k = 1, x = π/2 + 8π = 17π/2. Nilai ini di luar rentang.

2. x/4 = π - π/8 + 2kπ
   x/4 = 7π/8 + 2kπ
   Kalikan kedua sisi dengan 4:
   x = 4(7π/8) + 4(2kπ)
   x = 7π/2 + 8kπ
   Untuk rentang 0 ≤ x ≤ 2π:
   Jika k = 0, x = 7π/2. Nilai ini di luar rentang.

Namun, ada kemungkinan lain jika kita mempertimbangkan bahwa fungsi sinus periodik. Persamaan sin(A) = sin(B) memiliki solusi A = B + 2kπ atau A = π - B + 2kπ.
Dalam kasus ini, A = x/4 dan B = π/8.

Kasus 1: x/4 = π/8 + 2kπ
   x = 4(π/8) + 4(2kπ)
   x = π/2 + 8kπ
   Untuk k=0, x = π/2. (Dalam rentang 0 ≤ x ≤ 2π)

Kasus 2: x/4 = π - π/8 + 2kπ
   x/4 = 7π/8 + 2kπ
   x = 4(7π/8) + 4(2kπ)
   x = 7π/2 + 8kπ
   Untuk k=0, x = 7π/2 (Di luar rentang 0 ≤ x ≤ 2π)

Mari kita periksa kembali. Kita mencari penyelesaian dari sin(x/4) = sin(π/8).
Ini berarti x/4 harus sama dengan π/8 atau π - π/8, ditambah kelipatan 2π.

Kemungkinan 1: x/4 = π/8 + 2nπ
x = 4(π/8) + 8nπ
x = π/2 + 8nπ
Jika n=0, x = π/2. Ini berada dalam rentang [0, 2π].

Kemungkinan 2: x/4 = π - π/8 + 2nπ
x/4 = 7π/8 + 2nπ
x = 4(7π/8) + 8nπ
x = 7π/2 + 8nπ
Jika n=0, x = 7π/2. Ini di luar rentang [0, 2π].

Ada satu hal yang perlu diperhatikan: rentang untuk x adalah 0 ≤ x ≤ 2π, yang berarti rentang untuk x/4 adalah 0 ≤ x/4 ≤ π/2.  Karena π/8 berada dalam rentang [0, π/2], maka satu-satunya solusi langsung dari x/4 = π/8 adalah:
x/4 = π/8
x = 4(π/8)
x = π/2

Namun, kita harus mempertimbangkan semua solusi dalam rentang yang diberikan.  Jika sin(θ) = sin(α), maka θ = α + 2kπ atau θ = π - α + 2kπ.
Dalam kasus ini, θ = x/4 dan α = π/8.

1. x/4 = π/8 + 2kπ
   x = π/2 + 8kπ
   Untuk k=0, x = π/2. (Dalam rentang 0 ≤ x ≤ 2π)

2. x/4 = π - π/8 + 2kπ
   x/4 = 7π/8 + 2kπ
   x = 7π/2 + 8kπ
   Untuk k=0, x = 7π/2. (Di luar rentang 0 ≤ x ≤ 2π)

Jadi, satu-satunya solusi yang memenuhi adalah x = π/2.
Mari kita verifikasi: sin( (π/2) / 4 ) = sin(π/8). Ini benar.

Ada kemungkinan lain yang terlewatkan. Jika 0 ≤ x ≤ 2π, maka 0 ≤ x/4 ≤ π/2. Dalam rentang ini, fungsi sinus adalah satu-satu. Sehingga jika sin(a) = sin(b) dan a, b berada dalam [0, π/2], maka a = b.  Namun, argumen dari sinus adalah x/4, dan rentangnya adalah [0, π/2].  Nilai π/8 juga berada dalam rentang ini. Jadi x/4 = π/8, yang memberikan x = π/2.

Perlu diperhatikan bahwa jika rentang x adalah 0 <= x <= 2pi, maka x/4 adalah 0 <= x/4 <= pi/2. Di kuadran pertama, nilai sinus adalah positif. Nilai sin(pi/8) positif. Maka x/4 = pi/8 adalah solusi yang valid. 

Namun, jika kita menginterpretasikan soal ini secara umum tanpa membatasi argumen ke rentang yang sempit, maka:
Jika sin(A) = sin(B), maka A = B + 2kπ atau A = π - B + 2kπ.

Kita punya sin(x/4) = sin(π/8).

Kasus 1: x/4 = π/8 + 2kπ
x = π/2 + 8kπ
Untuk k=0, x = π/2.
Untuk k=1, x = π/2 + 8π = 17π/2 (di luar rentang 0 ≤ x ≤ 2π).

Kasus 2: x/4 = π - π/8 + 2kπ
x/4 = 7π/8 + 2kπ
x = 7π/2 + 8kπ
Untuk k=0, x = 7π/2 (di luar rentang 0 ≤ x ≤ 2π).

Sepertinya hanya ada satu solusi. Namun, jika ada kesalahan dalam pemahaman saya mengenai rentang atau sifat fungsi sinus.

Mari kita perhatikan kembali: 0 ≤ x ≤ 2π. Maka 0 ≤ x/4 ≤ π/2.
Dalam rentang 0 hingga π/2, sinus hanya bernilai sama untuk sudut yang sama.  Oleh karena itu, jika sin(x/4) = sin(π/8) dan x/4 berada dalam rentang yang sama dengan π/8 (yaitu, [0, π/2]), maka x/4 harus sama dengan π/8.

x/4 = π/8
x = 4 * (π/8)
x = π/2

Jadi, penyelesaiannya adalah x = π/2.