Penyelesaian dengan perkalian bentuk sekawan kemudian

Nilai limit adalah -3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit x mendekati tak hingga dari akar(4x² - 5x + 1) - akar(4x² + 7x - 2), kita akan menggunakan metode perkalian dengan bentuk sekawan dan membagi dengan variabel pangkat tertinggi.

Limit = lim (x→∞) [√(4x² - 5x + 1) - √(4x² + 7x - 2)]

Kalikan dengan bentuk sekawan:
Sekawan dari [√(4x² - 5x + 1) - √(4x² + 7x - 2)] adalah [√(4x² - 5x + 1) + √(4x² + 7x - 2)].

Limit = lim (x→∞) [√(4x² - 5x + 1) - √(4x² + 7x - 2)] * [√(4x² - 5x + 1) + √(4x² + 7x - 2)] / [√(4x² - 5x + 1) + √(4x² + 7x - 2)]

Menggunakan sifat (a - b)(a + b) = a² - b² di bagian pembilang:
Limit = lim (x→∞) [(4x² - 5x + 1) - (4x² + 7x - 2)] / [√(4x² - 5x + 1) + √(4x² + 7x - 2)]

Sederhanakan pembilang:
Limit = lim (x→∞) [4x² - 5x + 1 - 4x² - 7x + 2] / [√(4x² - 5x + 1) + √(4x² + 7x - 2)]
Limit = lim (x→∞) [-12x + 3] / [√(4x² - 5x + 1) + √(4x² + 7x - 2)]

Sekarang, bagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi di penyebut, yaitu x (atau √x²).
Untuk penyebut, kita keluarkan x² dari dalam akar:
√(4x² - 5x + 1) = √(x²(4 - 5/x + 1/x²)) = |x|√(4 - 5/x + 1/x²).
Karena x → ∞, maka |x| = x.
√(4x² + 7x - 2) = √(x²(4 + 7/x - 2/x²)) = |x|√(4 + 7/x - 2/x²).
Karena x → ∞, maka |x| = x.

Limit = lim (x→∞) [-12x + 3] / [x√(4 - 5/x + 1/x²) + x√(4 + 7/x - 2/x²)]

Bagi pembilang dan penyebut dengan x:
Limit = lim (x→∞) [-12 + 3/x] / [√(4 - 5/x + 1/x²) + √(4 + 7/x - 2/x²)]

Sekarang, substitusikan x → ∞. Ingat bahwa suku-suku seperti 3/x, 5/x, 1/x², 7/x, -2/x² akan mendekati 0.
Limit = [-12 + 0] / [√(4 - 0 + 0) + √(4 + 0 - 0)]
Limit = -12 / [√4 + √4]
Limit = -12 / [2 + 2]
Limit = -12 / 4
Limit = -3