Penyelesaian persamaan 2.(25)^(x+1)-5^(x+2)+2=0 adalah. . .

Penyelesaian persamaan adalah $x = \log_5(2) - 1$ dan $x = -\log_5(10)$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan eksponensial $2 	imes (25)^{x+1} - 5^{x+2} + 2 = 0$, kita perlu mengubah semua basis menjadi sama, yaitu basis 5.

Ingat bahwa $25 = 5^2$. Maka, $(25)^{x+1} = (5^2)^{x+1} = 5^{2(x+1)} = 5^{2x+2}$.

Substitusikan kembali ke dalam persamaan:
$2 	imes (5^{2x+2}) - 5^{x+2} + 2 = 0$

Kita juga bisa menulis $5^{2x+2}$ sebagai $5^{2x} 	imes 5^2 = 25 	imes (5^x)^2$.
Dan $5^{x+2}$ sebagai $5^x 	imes 5^2 = 25 	imes 5^x$.

Misalkan $y = 5^x$. Maka persamaan menjadi:
$2 	imes (25 	imes y^2) - (25 	imes y) + 2 = 0$
$50y^2 - 25y + 2 = 0$

Ini adalah persamaan kuadrat dalam bentuk $ay^2 + by + c = 0$, dengan $a=50$, $b=-25$, dan $c=2$.
Kita dapat menyelesaikannya menggunakan rumus kuadrat $y = rac{-b 
The 	ext{akar-akar dari persamaan kuadrat } 50y^2 - 25y + 2 = 0 	ext{ adalah:}}{2a}$.
$y = rac{-(-25) 
pm 
 	ext{Kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini:}}{2 	imes 50}$
$y = rac{25 
pm 
 	ext{Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan } 50 	imes 2 = 100 	ext{ dan jika dijumlahkan menghasilkan } -25. 	ext{ Bilangan tersebut adalah } -20 	ext{ dan } -5.}}{100}$

$y_1 = rac{25 + 
$50y^2 - 20y - 5y + 2 = 0$
$10y(5y - 2) - 1(5y - 2) = 0$
$(10y - 1)(5y - 2) = 0$

Sehingga, kita punya dua kemungkinan untuk y:
1. $10y - 1 = 0 
	ext{ atau }
2. $5y - 2 = 0$

Dari $10y - 1 = 0$, kita dapatkan $10y = 1$, sehingga $y = rac{1}{10}$.
Dari $5y - 2 = 0$, kita dapatkan $5y = 2$, sehingga $y = rac{2}{5}$.

Sekarang kita substitusikan kembali $y = 5^x$:

Kasus 1: $y = rac{1}{10}$
$5^x = rac{1}{10}$
Untuk menemukan nilai x, kita gunakan logaritma:
$x = 	ext{log}_5(rac{1}{10})$
$x = 	ext{log}_5(1) - 	ext{log}_5(10)$
$x = 0 - 	ext{log}_5(10)$
$x = -	ext{log}_5(10)$
Kita tahu bahwa $10 = 5 	imes 2$, jadi $	ext{log}_5(10) = 	ext{log}_5(5 	imes 2) = 	ext{log}_5(5) + 	ext{log}_5(2) = 1 + 	ext{log}_5(2)$.
Jadi, $x = -(1 + 	ext{log}_5(2))$.

Kasus 2: $y = rac{2}{5}$
$5^x = rac{2}{5}$
Menggunakan logaritma:
$x = 	ext{log}_5(rac{2}{5})$
$x = 	ext{log}_5(2) - 	ext{log}_5(5)$
$x = 	ext{log}_5(2) - 1$

Jadi, penyelesaian persamaan tersebut adalah $x = -	ext{log}_5(10)$ atau $x = 	ext{log}_5(2) - 1$. 

Jika kita ingin menyederhanakan lebih lanjut atau mendapatkan nilai numerik, kita dapat menggunakan kalkulator.
$	ext{log}_5(2) 	ext{ kira-kira } 0.4307$

Maka:
$x 	ext{ (Kasus 1)} = -(1 + 0.4307) = -1.4307$
$x 	ext{ (Kasus 2)} = 0.4307 - 1 = -0.5693$

Solusi persamaan $2 	imes (25)^{x+1} - 5^{x+2} + 2 = 0$ adalah $x = 	ext{log}_5(2) - 1$ dan $x = -	ext{log}_5(10)$.