Penyelesaian pertidaksamaan akar(x + 10) - akar(x + 2) > 2

Penyelesaiannya adalah -2 <= x < -1.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan akar(x + 10) - akar(x + 2) > 2, kita perlu mengisolasi salah satu akar dan mengkuadratkan kedua sisi.

Langkah 1: Pindahkan salah satu akar ke sisi kanan.
 akar(x + 10) > 2 + akar(x + 2)

Langkah 2: Kuadratkan kedua sisi.
 (akar(x + 10))^2 > (2 + akar(x + 2))^2
 x + 10 > 4 + 4akar(x + 2) + (x + 2)
 x + 10 > 4 + 4akar(x + 2) + x + 2
 x + 10 > x + 6 + 4akar(x + 2)

Langkah 3: Sederhanakan dan isolasi akar.
 10 - 6 > 4akar(x + 2)
 4 > 4akar(x + 2)
 1 > akar(x + 2)

Langkah 4: Kuadratkan kembali kedua sisi.
 1^2 > (akar(x + 2))^2
 1 > x + 2

Langkah 5: Selesaikan pertidaksamaan.
 1 - 2 > x
 -1 > x
 atau x < -1

Langkah 6: Periksa syarat domain akar.
 Syarat domain akar adalah ekspresi di dalam akar harus non-negatif.
 x + 10 >= 0  => x >= -10
 x + 2 >= 0   => x >= -2

Langkah 7: Iriskan semua kondisi.
 Kita punya x < -1, x >= -10, dan x >= -2.
 Irisan dari ketiga kondisi tersebut adalah -2 <= x < -1.

Namun, mari kita periksa kembali langkah pengkuadratan. Ada kemungkinan kita perlu menguji nilai.

Mari kita coba metode lain dengan mengkuadratkan kedua sisi secara langsung:
 akar(x + 10) - akar(x + 2) > 2
Kuadratkan kedua sisi:
(akar(x + 10) - akar(x + 2))^2 > 2^2
(x + 10) - 2akar((x + 10)(x + 2)) + (x + 2) > 4
2x + 12 - 2akar(x^2 + 12x + 20) > 4
2x + 8 > 2akar(x^2 + 12x + 20)
x + 4 > akar(x^2 + 12x + 20)

Sekarang, kita perlu mengkuadratkan lagi, tetapi hati-hati dengan tanda. Sisi kiri (x+4) harus positif agar pengkuadratan valid.
Jadi, kita punya dua kondisi: x+4 > 0 (x > -4) DAN x + 4 > akar(x^2 + 12x + 20)
Kuadratkan kedua sisi dari x + 4 > akar(x^2 + 12x + 20):
(x + 4)^2 > x^2 + 12x + 20
x^2 + 8x + 16 > x^2 + 12x + 20
8x + 16 > 12x + 20
16 - 20 > 12x - 8x
-4 > 4x
-1 > x atau x < -1

Sekarang, kita gabungkan semua syarat:
1. Domain akar: x >= -10 dan x >= -2. Jadi, x >= -2.
2. Syarat agar sisi kiri positif saat mengkuadratkan: x + 4 > 0, jadi x > -4.
3. Hasil pertidaksamaan setelah pengkuadratan: x < -1.

Irisan dari x >= -2, x > -4, dan x < -1 adalah -2 <= x < -1.

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah -2 <= x < -1.