Sebuah kurva y=2x^2-4x+1 dan garis y+3x-4=0 berpotongan di

Persamaan garis singgungnya adalah y = 2x - 7/2 dan y = -8x - 1.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung kurva y = 2x^2 - 4x + 1 yang berpotongan dengan garis y + 3x - 4 = 0, kita perlu mencari titik potongnya terlebih dahulu.

Langkah 1: Cari titik potong kurva dan garis.
Kita samakan kedua persamaan:
2x^2 - 4x + 1 = y
dan
y = -3x + 4

Substitusikan y dari persamaan garis ke persamaan kurva:
2x^2 - 4x + 1 = -3x + 4
2x^2 - 4x + 3x + 1 - 4 = 0
2x^2 - x - 3 = 0

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:
(2x - 3)(x + 1) = 0

Ini memberikan dua nilai x:
2x - 3 = 0  => x = 3/2
x + 1 = 0   => x = -1

Sekarang, cari nilai y yang sesuai untuk setiap nilai x menggunakan persamaan garis y = -3x + 4:
Jika x = 3/2:
y = -3(3/2) + 4 = -9/2 + 8/2 = -1/2
Jadi, titik potong pertama adalah (3/2, -1/2).

Jika x = -1:
y = -3(-1) + 4 = 3 + 4 = 7
Jadi, titik potong kedua adalah (-1, 7).

Langkah 2: Cari gradien (turunan) kurva.
Gradien kurva diberikan oleh turunan pertama y terhadap x.
Kurva: y = 2x^2 - 4x + 1
Turunan: dy/dx = 4x - 4

Langkah 3: Cari gradien garis singgung di setiap titik potong.
Untuk titik (3/2, -1/2), gradien m1 adalah:
m1 = dy/dx |_(x=3/2) = 4(3/2) - 4 = 6 - 4 = 2

Untuk titik (-1, 7), gradien m2 adalah:
m2 = dy/dx |_(x=-1) = 4(-1) - 4 = -4 - 4 = -8

Langkah 4: Tentukan persamaan garis singgung.
Persamaan garis singgung menggunakan rumus y - y1 = m(x - x1).

Untuk titik (3/2, -1/2) dengan gradien m1 = 2:
y - (-1/2) = 2(x - 3/2)
y + 1/2 = 2x - 3
y = 2x - 3 - 1/2
y = 2x - 7/2
Atau dalam bentuk Ax + By + C = 0:
4x - 2y - 7 = 0

Untuk titik (-1, 7) dengan gradien m2 = -8:
y - 7 = -8(x - (-1))
y - 7 = -8(x + 1)
y - 7 = -8x - 8
y = -8x - 8 + 7
y = -8x - 1
Atau dalam bentuk Ax + By + C = 0:
8x + y + 1 = 0

Jadi, persamaan garis singgung kurva di kedua titik potong tersebut adalah y = 2x - 7/2 dan y = -8x - 1.