Penyelesaian pertidaksamaan x^2-2<=|2x+1| adalah ....

Penyelesaiannya adalah -1 - \sqrt{2} <= x <= 3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan x^2-2<=|2x+1|, kita perlu mempertimbangkan dua kasus:
Kasus 1: 2x+1 >= 0 (atau x >= -1/2).
Dalam kasus ini, |2x+1| = 2x+1. Pertidaksamaan menjadi x^2 - 2 <= 2x + 1.
Pindahkan semua suku ke satu sisi: x^2 - 2x - 3 <= 0.
Faktorkan kuadratik: (x-3)(x+1) <= 0.
Solusi untuk pertidaksamaan ini adalah -1 <= x <= 3.
Karena kita berada dalam kasus x >= -1/2, irisan dari kedua kondisi ini adalah -1/2 <= x <= 3.

Kasus 2: 2x+1 < 0 (atau x < -1/2).
Dalam kasus ini, |2x+1| = -(2x+1) = -2x-1. Pertidaksamaan menjadi x^2 - 2 <= -2x - 1.
Pindahkan semua suku ke satu sisi: x^2 + 2x - 1 <= 0.
Untuk mencari akar dari x^2 + 2x - 1 = 0, kita gunakan rumus kuadratik: x = [-b ± sqrt(b^2-4ac)] / 2a.
x = [-2 ± sqrt(2^2 - 4*1*(-1))] / (2*1)
x = [-2 ± sqrt(4 + 4)] / 2
x = [-2 ± sqrt(8)] / 2
x = [-2 ± 2*sqrt(2)] / 2
x = -1 ± sqrt(2).
Jadi, akar-akarnya adalah -1 - sqrt(2) dan -1 + sqrt(2).
Solusi untuk pertidaksamaan x^2 + 2x - 1 <= 0 adalah -1 - sqrt(2) <= x <= -1 + sqrt(2).
Karena kita berada dalam kasus x < -1/2, irisan dari kedua kondisi ini adalah -1 - sqrt(2) <= x < -1/2.

Menggabungkan kedua kasus:
Kita perlu menggabungkan solusi dari Kasus 1 (-1/2 <= x <= 3) dan Kasus 2 (-1 - sqrt(2) <= x < -1/2).
Karena -1 - sqrt(2) kira-kira -2.414 dan -1/2 adalah -0.5, maka irisan gabungannya adalah -1 - sqrt(2) <= x <= 3.

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan x^2-2<=|2x+1| adalah -1 - \sqrt{2} <= x <= 3.