Perbandingan antara usia Ali dan Badu 3 tahun yang lalu 4:

3 tahun

Pembahasan

Misalkan usia Ali sekarang adalah A dan usia Badu sekarang adalah B. Tiga tahun yang lalu, usia Ali adalah A-3 dan usia Badu adalah B-3. Perbandingan usia mereka tiga tahun yang lalu adalah (A-3)/(B-3) = 4/1. Ini memberikan persamaan A-3 = 4(B-3), atau A = 4B - 12 + 3, sehingga A = 4B - 9.

Usia Badu sekarang adalah B, dan kuadrat usianya adalah B^2. Usia Ali sekarang adalah A. Diketahui bahwa B^2 = A + 6. Kita substitusikan nilai A dari persamaan pertama ke persamaan kedua: B^2 = (4B - 9) + 6. Ini menyederhanakan menjadi B^2 = 4B - 3, atau B^2 - 4B + 3 = 0.

Kita faktorkan persamaan kuadrat ini: (B-1)(B-3) = 0. Jadi, B = 1 atau B = 3. Jika B = 1, maka usia Ali A = 4(1) - 9 = -5, yang tidak mungkin. Jika B = 3, maka usia Ali A = 4(3) - 9 = 12 - 9 = 3. Namun, jika usia Badu 3 tahun yang lalu adalah 1 (karena B adalah usia sekarang, maka 3 tahun lalu adalah B-3 = 0), maka perbandingannya menjadi tidak terdefinisi. Kita harus mengasumsikan B-3 > 0.

Mari kita periksa kembali: Jika usia Badu sekarang 3 tahun, maka 3 tahun lalu usianya 0. Jika usia Ali sekarang 3 tahun, maka 3 tahun lalu usianya 0. Perbandingannya menjadi 0/0. Ini berarti kita perlu melihat kemungkinan lain.

Jika B=3 (usia Badu sekarang), maka usia Badu 3 tahun lalu adalah 0. Jika usia Ali sekarang A, maka usia Ali 3 tahun lalu adalah A-3. Perbandingan (A-3)/0 = 4/1, yang tidak mungkin.

Mari kita coba lagi dengan B sebagai usia Badu sekarang. Maka usia Badu 3 tahun lalu adalah B-3. Usia Ali sekarang adalah A. Usia Ali 3 tahun lalu adalah A-3. 
(A-3) / (B-3) = 4/1 => A - 3 = 4B - 12 => A = 4B - 9
Kuadrat usia Badu sekarang (B^2) 6 lebih dari usia Ali sekarang (A). 
B^2 = A + 6
Substitusikan A: B^2 = (4B - 9) + 6
B^2 = 4B - 3
B^2 - 4B + 3 = 0
(B - 1)(B - 3) = 0
B = 1 atau B = 3.

Jika B = 1 (usia Badu sekarang), maka usia Ali A = 4(1) - 9 = -5 (tidak mungkin).
Jika B = 3 (usia Badu sekarang), maka usia Ali A = 4(3) - 9 = 12 - 9 = 3.

Mari kita cek kondisi 3 tahun yang lalu: Usia Badu 3 tahun lalu = 3 - 3 = 0. Usia Ali 3 tahun lalu = 3 - 3 = 0. Perbandingan 0/0 tidak terdefinisi, sehingga solusi ini mungkin salah atau ada interpretasi lain.

Namun, jika kita menginterpretasikan "3 tahun yang lalu" sebagai kondisi awal ketika perbandingan mereka adalah 4:1, dan usia mereka sekarang berbeda. Mari kita coba alternatif usia: 
Misalkan usia Ali 3 tahun lalu adalah 4x dan usia Badu 3 tahun lalu adalah x. 
Maka usia Ali sekarang adalah 4x+3 dan usia Badu sekarang adalah x+3.
Kuadrat usia Badu sekarang (x+3)^2 adalah 6 lebih dari usia Ali sekarang (4x+3).
(x+3)^2 = (4x+3) + 6
x^2 + 6x + 9 = 4x + 9
x^2 + 6x = 4x
x^2 + 2x = 0
x(x+2) = 0
x = 0 atau x = -2.

Jika x = 0, usia Badu 3 tahun lalu adalah 0, usia Ali 3 tahun lalu adalah 0. Ini berarti usia mereka sekarang adalah Ali 3 dan Badu 3. Perbandingan 3 tahun lalu adalah 0/0, tidak terdefinisi.
Jika x = -2, usia negatif, tidak mungkin.

Ada kemungkinan kesalahan dalam soal atau interpretasi.
Mari kita asumsikan bahwa perbandingan 4:1 adalah untuk usia mereka "beberapa waktu lalu" dan sekarang kita punya informasi baru.

Kembali ke persamaan: A = 4B - 9 dan B^2 = A + 6.
Jika usia Badu sekarang B, maka usia Ali sekarang A.
Dari A = 4B - 9, jika B > 3 maka A > 3. 
Jika B=4, A = 4(4)-9 = 7. 3 tahun lalu: Ali=4, Badu=1. Perbandingan 4:1. Cek kondisi kedua: B^2 = 4^2 = 16. A+6 = 7+6 = 13. 16 != 13.
Jika B=5, A = 4(5)-9 = 11. 3 tahun lalu: Ali=8, Badu=2. Perbandingan 8:2 = 4:1. Cek kondisi kedua: B^2 = 5^2 = 25. A+6 = 11+6 = 17. 25 != 17.
Jika B=6, A = 4(6)-9 = 15. 3 tahun lalu: Ali=12, Badu=3. Perbandingan 12:3 = 4:1. Cek kondisi kedua: B^2 = 6^2 = 36. A+6 = 15+6 = 21. 36 != 21.
Jika B=7, A = 4(7)-9 = 19. 3 tahun lalu: Ali=16, Badu=4. Perbandingan 16:4 = 4:1. Cek kondisi kedua: B^2 = 7^2 = 49. A+6 = 19+6 = 25. 49 != 25.

Sepertinya ada kesalahan dalam soal yang diberikan, karena tidak ada solusi integer yang memenuhi kedua kondisi.

Namun, jika kita mengabaikan "3 tahun yang lalu" dan hanya menggunakan informasi bahwa perbandingan usia Ali dan Badu adalah 4:1 (misal A=4k, B=k) dan kuadrat usia Badu sekarang 6 lebih dari usia Ali sekarang (B^2 = A+6).
Maka k^2 = 4k + 6
k^2 - 4k - 6 = 0.
Ini tidak memberikan solusi integer yang mudah.

Mari kita kembali ke interpretasi asli dan cek perhitungan:
Persamaan: A = 4B - 9 dan B^2 = A + 6.
Substitusi: B^2 = (4B - 9) + 6 => B^2 = 4B - 3 => B^2 - 4B + 3 = 0 => (B-1)(B-3) = 0.
Solusi B=1 atau B=3.
Jika B=1, A = 4(1) - 9 = -5 (tidak mungkin).
Jika B=3, A = 4(3) - 9 = 3.
Usia Ali sekarang 3 tahun, Usia Badu sekarang 3 tahun. 
3 tahun lalu: Usia Ali 0, Usia Badu 0. Perbandingan 0/0 tidak terdefinisi.

Diasumsikan ada kesalahan ketik pada soal. Jika kita mengasumsikan usia mereka 3 tahun yang lalu adalah A-3 dan B-3, dan jika B-3 > 0.
Jadi B harus > 3.
Namun, solusi yang didapat dari persamaan adalah B=1 atau B=3, yang tidak memenuhi B>3.

Jika kita mengasumsikan usia Ali sekarang adalah X, dan usia Badu sekarang adalah Y.
Perbandingan 3 tahun lalu: (X-3)/(Y-3) = 4/1 => X-3 = 4Y - 12 => X = 4Y - 9.
Kuadrat usia Badu sekarang (Y^2) 6 lebih dari usia Ali sekarang (X). => Y^2 = X + 6.
Substitusi X: Y^2 = (4Y - 9) + 6 => Y^2 = 4Y - 3 => Y^2 - 4Y + 3 = 0 => (Y-1)(Y-3) = 0.
Jadi Y=1 atau Y=3.
Jika Y=1, maka X = 4(1) - 9 = -5 (tidak mungkin).
Jika Y=3, maka X = 4(3) - 9 = 3.
Usia Ali sekarang 3 tahun, usia Badu sekarang 3 tahun.
3 tahun lalu: Ali 0, Badu 0. Perbandingan 0/0.

Mari kita cek kembali soalnya.
Jika kita mengasumsikan perbandingan usia Ali dan Badu **sekarang** adalah 4:1, dan **3 tahun yang lalu** kuadrat usia Badu sekarang 6 lebih dari usia Ali sekarang.
Ini akan mengubah formulasi soal secara drastis.

Kembali ke formulasi awal:
Ali sekarang A, Badu sekarang B.
3 tahun lalu: Ali A-3, Badu B-3. 
(A-3)/(B-3) = 4/1  => A-3 = 4B - 12 => A = 4B - 9.
Kuadrat usia Badu sekarang (B^2) 6 lebih dari usia Ali sekarang (A). => B^2 = A + 6.

Solusi matematika dari sistem persamaan ini adalah A=3, B=3. Namun, kondisi "3 tahun yang lalu" menjadi bermasalah karena usia menjadi nol.

Jika soal ini berasal dari sumber tertentu, ada kemungkinan adanya kesalahan penulisan pada soal tersebut.

Namun, jika kita harus memberikan jawaban berdasarkan solusi matematis dari sistem persamaan yang terbentuk, meskipun ada kendala interpretasi:
Usia Ali sekarang adalah 3 tahun.