Perhatikan balok berikut. Tentukan nilai sinus antara ruas

Nilai sinus bergantung pada dimensi balok. Jika balok adalah kubus, nilainya adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai sinus antara ruas garis AB dan FH pada balok, kita perlu memahami konsep vektor dan sudut antara dua vektor. Misalkan balok memiliki panjang (p), lebar (l), dan tinggi (t).
Misalkan titik A berada di (0, 0, 0). Maka titik B berada di (p, 0, 0) dan titik H berada di (p, l, t).

Ruas garis AB dapat direpresentasikan oleh vektor $\vec{AB} = B - A = (p, 0, 0)$.
Ruas garis FH dapat direpresentasikan oleh vektor $\vec{FH} = H - F$. Agar bisa menentukan vektor $\vec{FH}$, kita perlu mengetahui koordinat F. Jika F adalah titik yang bersebelahan dengan H pada sisi atas balok, maka F berada di (p, l, 0) jika kita mengasumsikan orientasi tertentu.
Namun, dalam konteks umum balok, AB adalah rusuk horizontal dan FH adalah diagonal ruang.

Mari kita asumsikan balok dengan dimensi panjang p, lebar l, dan tinggi t. Titik A=(0,0,0), B=(p,0,0). Titik F=(p,l,0), H=(p,l,t).

Vektor $\vec{AB} = (p, 0, 0)$.
Vektor $\vec{FH} = H - F = (p, l, t) - (p, l, 0) = (0, 0, t)$.

Untuk mencari sinus sudut antara AB dan FH, pertama kita cari kosinus sudutnya menggunakan rumus dot product:
$\vec{AB} \cdot \vec{FH} = |\vec{AB}| |\vec{FH}| \cos(\theta)$
$(p, 0, 0) \cdot (0, 0, t) = \sqrt{p^2} \sqrt{t^2} \cos(\theta)$
$0 = p \cdot t \cos(\theta)$
Karena p dan t adalah dimensi balok (dan tidak nol), maka $\cos(\theta) = 0$. Ini berarti sudut $\theta = 90^\circ$.

Namun, jika FH dianggap sebagai diagonal sisi, misalnya diagonal sisi alas atau sisi tegak. Mari kita periksa kemungkinan lain. Jika FH adalah diagonal sisi atas, dengan F di (0, l, t) dan H di (p, l, t), maka $\vec{FH} = (p, 0, 0)$. Dalam kasus ini, kedua vektor sejajar, sudutnya 0 atau 180, sinusnya 0.

Asumsi yang paling umum untuk soal seperti ini adalah FH adalah diagonal ruang.
Mari kita pertimbangkan ulang penamaan titik pada balok standar. Misalkan alasnya ABCD dan sisi atasnya EFGH, dengan A di bawah dan E di atas.
A=(0,0,0), B=(p,0,0), C=(p,l,0), D=(0,l,0). E=(0,0,t), F=(p,0,t), G=(p,l,t), H=(0,l,t).

Jika AB adalah ruas garis AB, maka $\vec{AB} = (p, 0, 0)$.
Jika FH adalah ruas garis FH, maka $\vec{FH} = H - F = (0, l, t) - (p, 0, t) = (-p, l, 0)$.

Hitung kosinus sudutnya:
$\vec{AB} \cdot \vec{FH} = (p, 0, 0) \cdot (-p, l, 0) = p(-p) + 0(l) + 0(0) = -p^2$
$|\vec{AB}| = \sqrt{p^2 + 0^2 + 0^2} = p$
$|\vec{FH}| = \sqrt{(-p)^2 + l^2 + 0^2} = \sqrt{p^2 + l^2}$

$\cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{FH}}{|\vec{AB}| |\vec{FH}|} = \frac{-p^2}{p \sqrt{p^2 + l^2}} = \frac{-p}{\sqrt{p^2 + l^2}}$

Nilai sinus dapat dihitung menggunakan identitas $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$:
$\sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta) = 1 - \left(\frac{-p}{\sqrt{p^2 + l^2}}\right)^2 = 1 - \frac{p^2}{p^2 + l^2} = \frac{p^2 + l^2 - p^2}{p^2 + l^2} = \frac{l^2}{p^2 + l^2}$
$\sin(\theta) = \sqrt{\frac{l^2}{p^2 + l^2}} = \frac{l}{\sqrt{p^2 + l^2}}$

Tanpa informasi spesifik mengenai dimensi balok (p, l, t), kita tidak bisa memberikan nilai numerik. Namun, jika soal mengacu pada sebuah gambar yang tidak disertakan, mungkin ada informasi visual yang hilang. Jika kita mengasumsikan balok adalah kubus (p=l=t), maka $\sin(\theta) = \frac{p}{\sqrt{p^2 + p^2}} = \frac{p}{\sqrt{2p^2}} = \frac{p}{p\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Jika AB adalah rusuk horizontal dan FH adalah diagonal sisi tegak yang sejajar dengan arah lebar, maka nilai sinusnya adalah perbandingan lebar terhadap diagonal sisi tersebut.