Perhatikan diagram berikut! P(-5,12) --> R(0,a) P'(12,5)

a = 0

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan transformasi geometri, khususnya rotasi. Titik P(-5, 12) dirotasikan sehingga menghasilkan bayangan P'(12, 5). Kita perlu mencari nilai 'a' dari titik R(0, a) yang merupakan pusat rotasi.

Dalam rotasi, jika sebuah titik (x, y) dirotasikan sebesar 90 derajat berlawanan arah jarum jam mengelilingi titik pusat (p, q), maka bayangannya adalah (p - (y - q), q + (x - p)).

Dalam kasus ini, kita dapat melihat pola transformasi dari P ke P'. Perhatikan bagaimana koordinat berubah:
x menjadi y, dan y menjadi -x (setelah mempertimbangkan pusat rotasi).

Misalkan pusat rotasi adalah R(0, a).

Transformasi P(-5, 12) menjadi P'(12, 5) melalui rotasi dengan pusat R(0, a) dapat dianalisis sebagai berikut:

Jika rotasi adalah 90 derajat berlawanan arah jarum jam:
P'(x', y') = (p - (y - q), q + (x - p))
12 = 0 - (12 - a)  => 12 = -12 + a => a = 24
5 = a + (-5 - 0)  => 5 = a - 5 => a = 10

Terjadi kontradiksi, mari kita coba rotasi 90 derajat searah jarum jam:
P'(x', y') = (p + (y - q), q - (x - p))
12 = 0 + (12 - a)  => 12 = 12 - a => a = 0
5 = a - (-5 - 0)  => 5 = a + 5 => a = 0

Jadi, jika rotasi dilakukan 90 derajat searah jarum jam mengelilingi titik (0, 0), maka P(-5, 12) akan menjadi P'(12, 5). Namun, soal menyatakan P'12,5 setelah rotasi P(-5,12) dengan pusat R(0,a).

Mari kita gunakan rumus rotasi umum:
Jika titik (x,y) dirotasikan terhadap pusat (p,q) sebesar $\theta$, maka bayangannya (x',y') adalah:
$x' = p + (x-p)\cos\theta - (y-q)\sin\theta$
$y' = q + (x-p)\sin\theta + (y-q)\cos\theta$

Dari P(-5, 12) ke P'(12, 5), jika kita mengasumsikan rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam, maka $\cos 90 = 0$ dan $\sin 90 = 1$.
$x' = p - (y-q)$
$y' = q + (x-p)$

Substitusikan P(-5, 12) dan P'(12, 5) dengan pusat R(0, a):
$12 = 0 - (12 - a) => 12 = -12 + a => a = 24$
$5 = a + (-5 - 0) => 5 = a - 5 => a = 10$

Terjadi lagi kontradiksi. Mari kita perhatikan bahwa P(-5, 12) ke P'(12, 5) adalah rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0,0) jika koordinatnya diubah menjadi P(5, 12) menjadi P'(12, -5) atau P(-5, 12) menjadi P'(-12, -5).

Perhatikan kembali soal: P(-5,12) --> R(0,a) P'(12,5). Ini berarti titik P dirotasikan mengelilingi R(0,a) menjadi P'(12,5). 

Jika rotasi adalah 90 derajat berlawanan arah jarum jam:
x' = p - (y-q)
y' = q + (x-p)
12 = 0 - (12-a) => 12 = -12+a => a = 24
5 = a + (-5-0) => 5 = a-5 => a = 10

Jika rotasi adalah 90 derajat searah jarum jam:
x' = p + (y-q)
y' = q - (x-p)
12 = 0 + (12-a) => 12 = 12-a => a = 0
5 = a - (-5-0) => 5 = a+5 => a = 0

Jika pusat rotasinya adalah (0,0), maka P(-5,12) dirotasikan 90 derajat searah jarum jam menjadi P'(12,5).
Dalam soal ini, pusat rotasinya adalah R(0,a). Agar P(-5,12) menjadi P'(12,5) setelah rotasi 90 derajat searah jarum jam, maka:

P'x = Px + (Py - a)
12 = -5 + (12 - a)
12 = -5 + 12 - a
12 = 7 - a
a = 7 - 12
a = -5

P'y = a - (Px)
5 = a - (-5)
5 = a + 5
a = 0

Ini masih belum konsisten. Mari kita perhatikan hubungan P(-5,12) ke P'(12,5). Perubahan dari x ke y dan y ke x menunjukkan kemungkinan rotasi 90 derajat. Perhatikan koordinat P(-5, 12). Jika diputar 90 derajat berlawanan arah jarum jam terhadap (0,0), hasilnya adalah (-12, -5). Jika diputar 90 derajat searah jarum jam terhadap (0,0), hasilnya adalah (12, -5).

Namun, jika kita mengamati P(-5, 12) menjadi P'(12, 5), ini adalah rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam pada P(5, 12) terhadap (0,0) menghasilkan P'(12, -5) atau P(-5, 12) terhadap (0,0) menghasilkan P'(-12,-5).

Mari kita kembali ke rumus dengan pusat R(0, a) dan rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam:
P'(x', y') = (p - (y - q), q + (x - p))
12 = 0 - (12 - a)
12 = -12 + a
a = 24

5 = a + (-5 - 0)
5 = a - 5
a = 10

Jika rotasi 90 derajat searah jarum jam:
P'(x', y') = (p + (y - q), q - (x - p))
12 = 0 + (12 - a)
12 = 12 - a
a = 0

5 = a - (-5 - 0)
5 = a + 5
a = 0

Jadi, pusat rotasi adalah (0, 0) dan rotasinya 90 derajat searah jarum jam. Namun, soal menyatakan pusat rotasi R(0,a).

Mari kita periksa apakah P' adalah hasil pencerminan P terhadap garis y = x diikuti rotasi. Atau ada kemungkinan kesalahan penulisan soal.

Namun, jika kita mengasumsikan hubungan P(-5,12) ke P'(12,5) adalah rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam dengan pusat R(0,a), maka:
Untuk koordinat x:
x' = -y + 2p
12 = -12 + 2(0)
12 = -12 (Salah)

Untuk koordinat y:
y' = x + 2q
5 = -5 + 2(a)
5 = -5 + 2a
10 = 2a
a = 5

Mari kita coba rumus rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam terhadap pusat (p, q):
x' = p - (y - q)
y' = q + (x - p)
Dengan pusat R(0, a) dan titik P(-5, 12) menjadi P'(12, 5):
12 = 0 - (12 - a)  => 12 = -12 + a => a = 24
5 = a + (-5 - 0)  => 5 = a - 5 => a = 10

Ada ketidaksesuaian dalam penerapan rumus ini. Mari kita gunakan konsep vektor.

$\\\vec{RP'} = R_{90} (\
ightarrow{RP})$
$\\\vec{RP} = P - R = (-5 - 0, 12 - a) = (-5, 12-a)$
$\\\vec{RP'} = P' - R = (12 - 0, 5 - a) = (12, 5-a)$

Rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam pada vektor (x, y) menghasilkan vektor (-y, x).
Jadi, jika $\\\vec{RP} = (-5, 12-a)$, maka rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam adalah $(-(12-a), -5) = (a-12, -5)$.

Maka, $\\\vec{RP'} = (a-12, -5)$
Kita juga tahu $\\\vec{RP'} = (12, 5-a)$.
Sehingga:
$a - 12 = 12  => a = 24$
$-5 = 5 - a   => a = 10$

Masih ada ketidaksesuaian. Kemungkinan besar, rotasinya adalah 90 derajat searah jarum jam.

Rotasi 90 derajat searah jarum jam pada vektor (x, y) menghasilkan vektor (y, -x).
Jadi, jika $\\\vec{RP} = (-5, 12-a)$, maka rotasi 90 derajat searah jarum jam adalah $(12-a, -(-5)) = (12-a, 5)$.

Maka, $\\\vec{RP'} = (12-a, 5)$.
Kita juga tahu $\\\vec{RP'} = (12, 5-a)$.
Sehingga:
$12 - a = 12  => a = 0$
$5 = 5 - a   => a = 0$

Konsisten. Jadi, nilai a adalah 0. Ini berarti pusat rotasi adalah R(0,0).