Kelas 9Kelas 10Kelas 8mathLingkaran
Perhatikan gambar! B A 66 44 C ODiketahui titik O adalah
Pertanyaan
Perhatikan gambar! Diketahui titik O adalah pusat lingkaran dan panjang busur AC = 100 cm. Selisih panjang busur AB dan busur BC adalah ....
Solusi
Verified
Selisih panjang busur AB dan BC adalah 20 cm.
Pembahasan
Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat O. Panjang busur AC adalah 100 cm. Kita perlu mencari selisih panjang busur AB dan busur BC.\n\nUntuk menyelesaikan masalah ini, kita memerlukan informasi mengenai sudut-sudut yang terkait dengan busur-busur tersebut. Dalam soal ini, ada informasi sudut yang diberikan dalam gambar: sudut di A adalah 66 derajat, dan sudut di C adalah 44 derajat. Kita asumsikan bahwa sudut-sudut ini adalah sudut pada keliling lingkaran.\n\nJika 66 derajat adalah sudut keliling yang menghadap busur BC, maka sudut pusat yang menghadap busur BC adalah $2 imes 66^ ext{o} = 132^ ext{o}$.\nJika 44 derajat adalah sudut keliling yang menghadap busur AB, maka sudut pusat yang menghadap busur AB adalah $2 imes 44^ ext{o} = 88^ ext{o}$.\n\nPanjang busur dihitung dengan rumus: Panjang Busur = $( ext{sudut pusat} / 360^ ext{o}) imes 2 imes ext{pi} imes ext{jari-jari}$.\nAtau, panjang busur berbanding lurus dengan sudut pusatnya.\n\nMisalkan panjang busur AB = $L_{AB}$ dan panjang busur BC = $L_{BC}$.\nKita tahu bahwa panjang busur AC = 100 cm. Sudut keliling yang menghadap busur AC adalah sudut B. Jika sudut di A adalah 66 dan di C adalah 44, maka sudut B = $180^ ext{o} - 66^ ext{o} - 44^ ext{o} = 180^ ext{o} - 110^ ext{o} = 70^ ext{o}$.\nJadi, sudut pusat yang menghadap busur AC adalah $2 imes 70^ ext{o} = 140^ ext{o}$.\n\nJika sudut pusat untuk AC adalah $140^ ext{o}$ dan panjang busurnya 100 cm, kita bisa mencari konstanta perbandingan (panjang per derajat sudut pusat).\nKonstanta = 100 cm / $140^ ext{o}$ = 10/14 cm/derajat = 5/7 cm/derajat.\n\nSekarang, kita kembali ke asumsi awal tentang sudut-sudut yang diberikan:\nSudut keliling $ ext{∠BAC} = 66^ ext{o}$, maka sudut pusat $ ext{∠BOC} = 2 imes 66^ ext{o} = 132^ ext{o}$. Panjang busur BC = $(132^ ext{o} / 360^ ext{o}) imes 2 imes ext{pi} imes r$.\nSudut keliling $ ext{∠BCA} = 44^ ext{o}$, maka sudut pusat $ ext{∠BOA} = 2 imes 44^ ext{o} = 88^ ext{o}$. Panjang busur AB = $(88^ ext{o} / 360^ ext{o}) imes 2 imes ext{pi} imes r$.\n\nSelisih panjang busur AB dan BC adalah $|L_{AB} - L_{BC}| = |(88^ ext{o} / 360^ ext{o}) imes 2 imes ext{pi} imes r - (132^ ext{o} / 360^ ext{o}) imes 2 imes ext{pi} imes r| = |(88-132)/360| imes 2 imes ext{pi} imes r = |-44/360| imes 2 imes ext{pi} imes r = (44/360) imes 2 imes ext{pi} imes r$.\n\nKita tahu panjang busur AC = 100 cm. Sudut keliling $ ext{∠ABC} = 180^ ext{o} - 66^ ext{o} - 44^ ext{o} = 70^ ext{o}$.\nSudut pusat $ ext{∠AOC} = 2 imes 70^ ext{o} = 140^ ext{o}$.\nPanjang busur AC = $(140^ ext{o} / 360^ ext{o}) imes 2 imes ext{pi} imes r = 100$ cm.\n\nDari sini, kita bisa melihat bahwa panjang busur berbanding lurus dengan sudut pusatnya.\n$L_{AB} / ext{∠BOA} = L_{BC} / ext{∠BOC} = L_{AC} / ext{∠AOC}$.\n$L_{AB} / 88^ ext{o} = L_{BC} / 132^ ext{o} = 100 ext{ cm} / 140^ ext{o}$.\n\nDari $L_{AB} / 88^ ext{o} = 100 / 140^ ext{o}$: \n$L_{AB} = (88/140) imes 100 = (880/14) = 440/7$ cm.\nDari $L_{BC} / 132^ ext{o} = 100 / 140^ ext{o}$: \n$L_{BC} = (132/140) imes 100 = (1320/14) = 660/7$ cm.\n\nSelisih panjang busur AB dan BC adalah $|L_{AB} - L_{BC}| = |440/7 - 660/7| = |-220/7| = 220/7$ cm. Nilai ini tidak sesuai dengan pilihan jawaban.\n\nMari kita asumsikan sudut yang diberikan adalah sudut pusat.\nJika ∠AOB = 66 derajat, maka $L_{AB} = (66/360) imes 2 ext{pi}r$. \nJika ∠COB = 44 derajat, maka $L_{BC} = (44/360) imes 2 ext{pi}r$. \nSelisihnya adalah $|(66-44)/360| imes 2 ext{pi}r = (22/360) imes 2 ext{pi}r$. \nPanjang busur AC = $L_{AB} + L_{BC} = (66+44)/360 imes 2 ext{pi}r = (110/360) imes 2 ext{pi}r = 100$ cm. \nDari sini, $(22/360) imes 2 ext{pi}r = (22/110) imes 100 = (1/5) imes 100 = 20$ cm.\n\nDengan asumsi sudut yang diberikan adalah sudut pusat, selisih panjang busur AB dan busur BC adalah 20 cm.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Panjang Busur Lingkaran
Section: Hubungan Sudut Pusat Dan Panjang Busur
Apakah jawaban ini membantu?