Tunjukkan bahwa: Jika a,B, dan gamma adalah sudut-sudut

Identitas terbukti benar dengan menggunakan hubungan sudut segitiga dan identitas trigonometri penjumlahan sinus.

Pembahasan

Soal ini meminta untuk menunjukkan identitas trigonometri yang berkaitan dengan sudut-sudut segitiga. Identitas yang diberikan adalah: Jika a, B, dan gamma adalah sudut-sudut sebuah segitiga, maka berlaku: cos(gamma/2) + sin((a-b)/2) = 2 sin(a/2) cos(b/2).

Namun, identitas yang perlu dibuktikan tampaknya mengandung kesalahan penulisan atau merupakan identitas yang tidak umum. Mari kita analisis bagian-bagiannya dan identitas trigonometri yang relevan.

Dalam sebuah segitiga, jumlah sudutnya adalah 180 derajat atau pi radian: a + b + gamma = 180°.
Ini berarti gamma = 180° - (a + b).
Maka, gamma/2 = 90° - (a + b)/2.

Menggunakan identitas kosinus sudut komplementer, cos(90° - θ) = sin(θ), kita dapatkan:
cos(gamma/2) = cos(90° - (a + b)/2) = sin((a + b)/2).

Jadi, sisi kiri identitas menjadi:
sin((a + b)/2) + sin((a - b)/2).

Sekarang, kita gunakan identitas penjumlahan dan pengurangan sinus:
sin(A) + sin(B) = 2 sin((A+B)/2) cos((A-B)/2).

Dalam kasus ini, A = (a + b)/2 dan B = (a - b)/2.
Maka:
(A + B)/2 = [((a + b)/2) + ((a - b)/2)] / 2 = [(a + b + a - b)/2] / 2 = [2a/2] / 2 = a / 2.

(A - B)/2 = [((a + b)/2) - ((a - b)/2)] / 2 = [(a + b - (a - b))/2] / 2 = [(a + b - a + b)/2] / 2 = [2b/2] / 2 = b / 2.

Jadi, sin((a + b)/2) + sin((a - b)/2) = 2 sin(a/2) cos(b/2).

Ini sesuai dengan sisi kanan identitas yang diberikan dalam soal. 

Penting untuk dicatat bahwa identitas yang diberikan dalam soal:
cos(gamma/2) + sin((a-b)/2) = 2 sin(a/2) cos(b/2)

Setelah substitusi cos(gamma/2) = sin((a+b)/2), menjadi:
sin((a+b)/2) + sin((a-b)/2) = 2 sin(a/2) cos(b/2).

Identitas ini benar dan telah dibuktikan menggunakan sifat-sifat sudut segitiga dan identitas trigonometri.

Langkah-langkah pembuktiannya adalah:
1. Gunakan hubungan sudut segitiga: a + b + gamma = 180°.
2. Ubah gamma/2 menjadi bentuk yang melibatkan a dan b: gamma/2 = 90° - (a+b)/2.
3. Gunakan identitas komplementer: cos(gamma/2) = cos(90° - (a+b)/2) = sin((a+b)/2).
4. Substitusikan hasil ini ke sisi kiri persamaan: sin((a+b)/2) + sin((a-b)/2).
5. Gunakan identitas penjumlahan sinus: sin(X) + sin(Y) = 2 sin((X+Y)/2) cos((X-Y)/2).
6. Terapkan identitas ini dengan X = (a+b)/2 dan Y = (a-b)/2.
7. Sederhanakan untuk mendapatkan 2 sin(a/2) cos(b/2), yang sama dengan sisi kanan.